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几何
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大家都见过家里铺的瓷砖吧，它们一般都是正方形，整个地面就由这若干个正方形铺盖而成。那么，我的问题是： 1）能不能在这块地面（地面有若干正方形组成）上做出一个等边三角形，这个等边三角形的顶点必须是任一瓷砖的顶点？ 2）同上，等边三角形依次换为等边五边形、等边六边形、等边八边形？ |
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【答案】应助回帖
soliton923: 十分感谢专家的回答 2011-09-22 23:34:11
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不妨设设正方形边长为单位1，边所在方向为别为x,y轴方向 设三角形一顶点为坐标原点。 设另两顶点为A和B。所以A,B的横坐标和纵坐标都为自然数，OA、OB的长度都为整数。 如果设OA与x轴正向夹角为a,OB与x轴正向夹角为b（此处角度有方向，逆时针设为正向）,可知：cos a, sin a, cos b, sin b 都是有理数，且a-b等于pi/3或者-pi/3。 而cos a=cosb*cos(pi/3)-sinb*sin(pi/3)，sin(pi/3)为无理数，cos(pi/3)为有理数，如果cos b, sin b 为有理数且sin b不等于零，则cosa为无理数，矛盾。 如果sin b=0。上面过程用cos b=cos a*cos(pi/3)-sina*sin(pi/3)，分析可得只有sin a=0时才能使cos b为有理数。 二sinb=0, sin a=0不可能同时成立（因为A、B同时在x轴，OAB不能构成三角形）。 所以，第一题答案是“不能构造这样的等边三角形” |
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