| 查看: 8896 | 回复: 3 | |||
sukiyq木虫 (小有名气)
|
[交流]
紧集的一些性质 已有3人参与
|
|
最近在看rudin的数学分析原理，摘抄些有关紧集的结论,首先要声明，这本书论述的基本都是度量空间： 一个集合K称作紧集，就是说K的任意开覆盖(由一族开集构成的覆盖)中可以选出有限个开集覆盖K。从这个定义中可以看出，紧集的定义与开集的定义息息相关，所以，一般说一个集合是紧集，都是相对于某一个空间X而言的。那么紧集有什么神奇的性质呢？ 1.K是Y的子集，Y又是X的子集，则K在X中紧等价于K在Y中紧。在较大的集合中是紧集，则在较小的集合中也是紧集，这个性质不难理解，但是反过来就不好说了。就拿“开集”这个性质举个例子，实数轴R上的开集构成一个拓扑空间，区间[0,1]继承这个拓扑，则半开区间[0,0.5)是[0,1]上的开集，但不是R上的开集。但是紧集却有这样的性质，在较小集合上紧则在较大集合上也紧。 2.度量空间中，紧集一定是闭集。说到这个性质大家自然要问，那闭集是不是紧集呢? 3.紧集的闭子集是紧集。 4.度量空间中，闭集和紧集的交是紧集。 5.度量空间中，紧集族{K(a)}的任意有限交(即其中任意有限个紧集的交)非空，则集族中所有紧集的交也非空。K(a)表示第a个紧集。 6.{K(n)}是紧集族,且单调递减(即K(n+1)属于K(n)),且都非空，则集族中所有紧集的交也非空。注意，上边紧集的标号是a表示紧集的个数可以是不可数，这里标号用n表示紧集个数是可数的，显然是上边定理的一个结论。 7.E是紧集K的无限子集(无限是指点集的基数至少可数)，则E在K中有极限点。在一般集合中无限集不一定有极限点，比如实直线上的自然数集。 8.{I(n)}是R^n上的k-cell(即n维盒子，盒子的边平行于坐标轴)，单调递减，则盒子族中所有紧集的交也非空。这个定理不就是区间套定理么。 9.k-cell是紧集。 10.E是R^n的子集，则下边三个条件等价： (1)E有界且闭；(2)E是紧集；(3)E的任意无限子集在E中有极限点。这个定理算是上边的一些定理的综合，非常重要 11.R^n的任意有界无限子集存在极限点。这也是上边定理的推论。 12.X是紧度量空间，{p(n)}是点列，则{p(n)}有收敛子列收敛到X中。紧集中的点列有收敛子列 13.R^n中有界序列包含收敛序列。 14.在度量空间X中，序列{p(n)}的所有子列的极限组成集合E，E是X中的闭集。 15.X是紧度量空间，{p(n)}是X中的Cauchy列，则{p(n)}收敛。度量空间中收敛列的都是Cauchy列，但Cauchy列是不是收敛列呢?这个定理说在紧度量空间下是的，Cauchy列和收敛列等价，这与完备性联系紧密。 16.紧空间在连续函数下的像是紧空间。这条性质很好，开集在连续函数下的像就不一定是开集。 17.f是X到Y的一一到上的(说白了就是即单又满)映射，X是紧空间，则f的逆是连续的。正反映射都连续，的映射是很特殊的。 18.f是X到Y的连续映射，X是紧空间，则f在X上一致连续。 |
回复此楼» 猜你喜欢
一志愿华南理工大学331分材料求调剂
已经有11人回复
-
271求调剂
已经有40人回复
-
求调剂学校
已经有3人回复
-
332求调剂
已经有15人回复
-
297求调剂
已经有25人回复
-
本科西工大 324求调剂
已经有5人回复
-
297工科调剂?
已经有7人回复
-
调剂
已经有11人回复
-
08工学 309分求调剂
已经有7人回复
-
各位老师好，求调剂，本科211，一志愿天津大学生物与医药学硕，差两名录取。
已经有9人回复
» 本主题相关价值贴推荐，对您同样有帮助:
- 分数占据的Cu2Se晶体的热电性质模拟（Nat. Mat+JACS+CM）
已经有10人回复
- 溶胶性质实验中遇到的两个现象
已经有3人回复
- 如何从一个高分子材料的物理性质上来区分这是否混合物
已经有7人回复
- 现在vasp能算一些静态的电学性质吗？
已经有15人回复
- 求助：量子点的聚集和分散的一些性质
已经有4人回复
- 关于德拜法计算固体的热力学性质疑问
已经有11人回复
- LiOH的一些性质
已经有1人回复
- 紧急求助：15-20w左右服务器（集群）配置推荐！！！散金币ing
已经有10人回复
- 紧急救助！关于英文校稿的一些问题
已经有7人回复
- 紧急求助 一个氨基酸的物理性质（急）
已经有4人回复
- 【讨论】化学物质性质查询网站集锦
已经有10人回复
xuyx_78
金虫 (小有名气)
- 应助: 39 (小学生)
- 金币: 1714.5
- 红花: 1
- 帖子: 176
- 在线: 80.3小时
- 虫号: 1385856
- 注册: 2011-09-01
- 专业: 计算数学与科学工程计算
2楼2011-09-14 09:46:56
Boole
木虫 (小有名气)
- 应助: 1 (幼儿园)
- 金币: 1738
- 散金: 600
- 帖子: 153
- 在线: 57.2小时
- 虫号: 1373799
- 注册: 2011-08-20
- 性别: GG
- 专业: 几何学
3楼2011-09-15 19:36:56
4楼2020-09-01 15:03:11
