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sukiyq

木虫 (小有名气)

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[交流] 紧集的一些性质已有3人参与

最近在看rudin的数学分析原理，摘抄些有关紧集的结论,首先要声明，这本书论述的基本都是度量空间：

一个集合K称作紧集，就是说K的任意开覆盖(由一族开集构成的覆盖)中可以选出有限个开集覆盖K。从这个定义中可以看出，紧集的定义与开集的定义息息相关，所以，一般说一个集合是紧集，都是相对于某一个空间X而言的。那么紧集有什么神奇的性质呢？

1.K是Y的子集，Y又是X的子集，则K在X中紧等价于K在Y中紧。在较大的集合中是紧集，则在较小的集合中也是紧集，这个性质不难理解，但是反过来就不好说了。就拿“开集”这个性质举个例子，实数轴R上的开集构成一个拓扑空间，区间[0,1]继承这个拓扑，则半开区间[0,0.5)是[0,1]上的开集，但不是R上的开集。但是紧集却有这样的性质，在较小集合上紧则在较大集合上也紧。

2.度量空间中，紧集一定是闭集。说到这个性质大家自然要问，那闭集是不是紧集呢?

3.紧集的闭子集是紧集。

4.度量空间中，闭集和紧集的交是紧集。

5.度量空间中，紧集族{K(a)}的任意有限交(即其中任意有限个紧集的交)非空，则集族中所有紧集的交也非空。K(a)表示第a个紧集。

6.{K(n)}是紧集族,且单调递减(即K(n+1)属于K(n)),且都非空，则集族中所有紧集的交也非空。注意，上边紧集的标号是a表示紧集的个数可以是不可数，这里标号用n表示紧集个数是可数的，显然是上边定理的一个结论。

7.E是紧集K的无限子集(无限是指点集的基数至少可数)，则E在K中有极限点。在一般集合中无限集不一定有极限点，比如实直线上的自然数集。

8.{I(n)}是R^n上的k-cell(即n维盒子，盒子的边平行于坐标轴)，单调递减，则盒子族中所有紧集的交也非空。这个定理不就是区间套定理么。

9.k-cell是紧集。

10.E是R^n的子集，则下边三个条件等价：
(1)E有界且闭；(2)E是紧集；(3)E的任意无限子集在E中有极限点。这个定理算是上边的一些定理的综合，非常重要

11.R^n的任意有界无限子集存在极限点。这也是上边定理的推论。

12.X是紧度量空间，{p(n)}是点列，则{p(n)}有收敛子列收敛到X中。紧集中的点列有收敛子列

13.R^n中有界序列包含收敛序列。

14.在度量空间X中，序列{p(n)}的所有子列的极限组成集合E，E是X中的闭集。

15.X是紧度量空间，{p(n)}是X中的Cauchy列，则{p(n)}收敛。度量空间中收敛列的都是Cauchy列，但Cauchy列是不是收敛列呢?这个定理说在紧度量空间下是的，Cauchy列和收敛列等价，这与完备性联系紧密。

16.紧空间在连续函数下的像是紧空间。这条性质很好，开集在连续函数下的像就不一定是开集。

17.f是X到Y的一一到上的(说白了就是即单又满)映射，X是紧空间，则f的逆是连续的。正反映射都连续，的映射是很特殊的。

18.f是X到Y的连续映射，X是紧空间，则f在X上一致连续。

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