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[交流] 关于闭区间套原理 vs 确界原理已有6人参与

看到有的书上，用“闭区间套原理”证明“确界原理”，
但有的书上，用“确界原理”证明“闭区间套原理”。

不明白，这两个原理谁前谁后呢？还是等价的？

有谁明白，请详细介绍下这两个原理的来龙去脉。谢谢了。
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1楼2011-06-28 23:22:55

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sskkyy

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小雨萌萌(金币+4): 谢谢咯~ 2011-07-31 10:09:55

你好。不知道你所谓的闭区间套原理和确界原理是不是如下的东西：【区间套定理】:“设一无穷闭区间列{[a(n),b(n)]}适合下面两个条件

1)后一区间在前一区间之内,既对任一正整数n,有a(n)<=a(n+1)无穷时,区间列的长度{(b(n)-a(n))}所成的数列收敛于零,则区间的端点所成的两数列{a(n)}及{b(n)}收敛于同一极限$,并且$是所有区间的唯一公共点.”
【确界定理】：“任何数实数轴轴上的有界集合都有唯一的上下确界”
如果这是你所说指的定理，那么这两个定理是等价的。可以如下考虑：证明他们都和【单调有界定理】任何单调有界非递减数列的数列都有唯一上确界。

【确界定理】推【单调有界】：设a(n), n=1,2,.... 是任意的单调有界非递减数列的数列。取集合{a(n)|n=1,2,.... }，根据假设这是一个有界集合。根据确界定理，存在唯一的一个上界a。根据上确界的定义，这个a便是数列跌的上确界。
【单调有界】推【区间套定理】设[a(n),b(n)]，n=1,2,.... 如定理中的一系列区间.根据这些区间的定义，a(n)是单调非递减数列，所以有上确界a；b(n)是单调非递增数列，所以有下确界b. 因为区间长度趋于0，我们有a=b. 这就证明了区间套定理。
【区间套定理】推【单调有界】假设a(n),n=1,2,...是一列单间有界非递减的数。首先可以看出a(n+1)-a(n)的极限是0，否则存在一个正整数e使得对于无穷多项n=n(k), a(n(k))>a(n(k)-1)+e,这与a(n)是有界的矛盾。在知道了这个极限是0后，就可以假设对于充分大的N, 当n>N时, a(n+1)-a(n)<1/2^n。这里1/2^n表示1除以2的n次方。考虑区间套[a(n+1)- 1/2^n，a(n+1)+1/2^n]，可以直接检验这个区间套满足条件，得一点便是数列的上确界。

【单调有界】推【确界定理】假设S是一个实数轴上的有界集。我们需要找出一个数列（可数的）使得它的上确界就是这个集合的上确界（下确界可以类似的证明）。主要方法是二分法。固定集合S中的一点x，假设y是S的一个上界。取[x,y]的中点，如果在大的半边有S中的元素，继续取大的半边的中点，否则去小的半边的中点。依此类推，可以得到很多的点。取其中的一个单调非递减子列。这个子列的上确界便是集合的上确界。

希望对你有所帮助。