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急用！！！新虫求助有关阶梯轴的优化设计用matlab编程
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一、 问题实际 某小型林机主轴的优化设计，根据其使用功能及方便性，要求总重量极可能轻。为减轻轴的质量，且保证传动可靠，此轴材料选用45 号钢，调质处理。现考虑到轴中键槽质量对整个主轴质量影响甚小，故忽略不计。 二、 数学模型 已知:主轴材料密度ρ=7.8 kg/m3 ,皮带轮、下滚动轴承、刀盘和上滚动轴承宽度分别为80、40、70和40 。由电动机给定功率及传动比等参数确定轴所传递的最大扭矩Tmax =65.625N﹒m m；取轴的许用剪切应力[τ]=40MPa；许用弯曲应力[σ]=60MPa；许用单位长度扭转角θ=0.8°/m；要求在满足强度、刚度等条件下，设计一个重量最轻的结构方案 三、 问题分析 1. 设计变量的选取 考虑装配时各部件的装配间隙要求，选取设计变量为X=[x1，x2，x3，x4，x5]。其中，x1为皮带轮与第段之间的允许间隙，x2为滚动轴承与凸台之间的允许间隙，x3为刀盘与上滚动轴承间的允许间隙，x4为轴承端盖等其它末端允许长度，x5为轴的基本直径尺寸d。 2. 目标函数的确定 A. 轴的总长度 l(x) = x1+x2+x3+x4+80+40+50+40 = x1+x2+x3+x4+210 B. 轴的总质量 f(x) = x5 2 l(x) ρ 此处说明,以上目标函数是经简化后得出的。原理如下 此主轴基本直径为d=x5,而其他各段直径是根据装配关系并依据经验将适当的轴肩或轴环高度依次加在基本直径上得出，其关系如下： 1. dⅢ= d+h1 2. dⅡ= dⅢ-h2= d+h1-h2 3. dⅠ= dⅡ-h3= d+h1-h2-h3 Vextra=di 2 - d 2= (di+ d) (di- d) 由此可知，各轴肩、轴环与主轴基本直径间的差值是固定的，进一步可知其多余出的体积也是一定的,不受dbasic变化的影响。 3. 给定约束条件 a) 首先轴向间隙满足装配要求，由经验及其他因素可得一组边界约束条件： 4 ≤ x1 ≤ 10 0 ≤ x2 ≤ 6 40 ≤ x3 ≤ 60 6 ≤ x4 ≤ 10 b) 其次按轴的扭转强度计算，有： τmax = ≤[τ] 式中 Wn —抗扭截面模量 Wn = 0.2d3 = 0.2 x53 mm3； [τ ] —轴的许用剪切应力 [τ] = 40MPa； 将上述数据代入可得： g1(x) = x53 – 8.2 ≥ 0 c) 再次按轴的扭转刚度条件计算，有： θmax = × = [θ]（°/m） 式中 IP —轴的极惯性矩 IP = π d4/32 mm4； [θ] —许用单位长度扭转角 取[θ] = 0.8°/m； G —材料的剪切弹性模量 G = 80×106 MPa； 将以上数据代入公式整理得： g2(x) = x5 – 48 ≥ 0 d) 最后按轴的弯曲强度条件计算，有： σmax = ≤ [σ] 式中 Mmax —轴的最大计算弯矩，N•m； W —轴抗弯截面模量 Wn = 0.1d3 = 0.1 x53 mm3； [σ] —许用许用弯曲应力 取[σ] = 60MPa； 上式中Mmax是在对此轴的受力分析列出力及力偶平衡方程的基础上，得出其表达式如下： Mmax = (520 x2﹢8 x2 x3﹢920 x3﹢8050) ／(x2 + x3 + 180) 综合考虑以上实际情况，结合现代设计方法课程中涉及的优化方法的优缺点，最终决定选用复合形法求解，以下是求解过程： 解：由于5维的设计变量，所以初始复合形顶点数为n+1 ≤ K≤ 2n，此处取为K= n+1=6，给定初始反射系数α=1.3，允许误差为ε1= ，ε2= 。 任选初始复合形的6个 X(1)=[4，0，40，6，60]T X(2)=[5，1，42，6.5，62]T X(3)=[6，2，45，7，63]T X(4)=[7，3，50，8，65]T X(5)=[8，4，55，9，70]T X(6)=[9，5，60，10，75]T 经检验这六点均满座约束条件。 初始复合形各顶点的函数值分别为： f(X(1)) = 5.73 f(X(2)) = 6.23 f(X(3)) = 6.57 f(X(4)) = 7.20 f(X(5)) = 8.59 f(X(6)) = 10.12 故最坏点是X(b)= X(6)，最好点X(g)= X(1)，次坏点是X(sb)= X(5)。 除最坏点X(b)外其余各顶点的中心点为： X(c)= (X(1)+ X(2)+ X(3)+ X(4)+ X(5))／5 = [6，2，46.4，7.3，64]T 经检验中心点X(c)满足约束条件，既X(c)为可行点。 在X(b)和 X(c)连线方向上求反射点，即 X(r) = X(c) +α( X(c)－X(b)) = [6，2，46.4，7.3，64]T+1.3[-3，-3，-13.6，-2.7，-11]T = [2.1，-1.9，28.72，3.79，49.7]T 显然此反射点越出了可行域，所以取反射系数α1= α0=0.65重新求取反射点： X(r) = [6，2，46.4，7.3，64]T+ 0.65[-3，-3，-13.6，-2.7，-11]T = [4.05，0.05，37.56，5.545，56.85]T 显然这个反射点也越出了可行域，所以再取反射系数α2= α1=0.325再次求取反射点： X(r) = [5.03，1.03，41.98，6.42，60.43]T 经检验，反射点为可行点。 反射点的函数值为f(X(r)) = 5.912。经比较可见，反射点的函数值好于最坏点的函数值，即f(X(r)) ≤ f(X(b))。于是以X(r)代替X(b)并和复合形中的X(1)， X(2)， X(3)，X(4)， X(5)五个顶点构成新的复合形。则形复合形的6个顶点为： X(1)=[4，0，40，6，60]T X(2)=[5，1，42，6.5，62]T X(3)=[6，2，45，7，63]T X(4)=[7，3，50，8，65]T X(5)=[8，4，55，9，70]T X(6)=[ 5.03，1.03，41.98，6.42，60.43]T 至此第一轮迭代结束。 经判别，不满足收敛性条件，则进入第二次迭代。依此步骤不断迭代，新复合形不断收缩，逐步逼近最优点，直至满足收敛准则，即可输出最好点X(g)和最佳函数值f(X(g))。 |
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