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sudo

木虫 (正式写手)

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★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
微尘、梦想(金币+5): 说的非常详细呀，看能不能贴出代码，让大家看一下 2011-04-20 16:03:02
微尘、梦想(程序强帖+1): 2011-04-23 17:43:06

设总桃子数为x[0]，经过1个猴子分后，剩余桃子数为x[1]...经过n个猴子分后，剩余桃子数为x[n]，于是有

x[n] = (x[n-1] - 1)*4/5

变形得

(x[n]+4)/(x[n-1]+4) = 4/5

即若令q[n]=x[n]+4，则{q[n]}为等比数列~

于是乎有

x[n]+4 = (x[0]+4)*(4/5)^n 【这里的^表示指数】

即

x[0] = (5/4)^n * (x[n]+4) - 4

假设一共有n个猴子无压力执行了分桃，那么n-1个猴子分桃后的桃子数，必定满足“减1后能被5整除”的条件，于是令x[n-1]=5k+1，k为整数

那么

x[0] = (5/4)^(n-1) * (x[n-1]+4) - 4
变为式子
x[0] = (5/4)^(n-1) * (5k+5) - 4 = 5^n * (k+1)/(4^(n-1)) -4

因为x[0]必为整数，故(k+1)/(4^(n-1))必须为正整数，而x[0]取最小值时，取(k+1)/(4^(n-1))=1即可

故~

n猴分桃的问题，原来那堆桃子数量最少为5^n-4
其中，n>=2，当n=5时，桃子数最小值为3121

PS：
上面对于n猴分桃的推广，仍然是基于“每个猴子都把桃子分成5堆，然后发现多一个，于是吃掉一个，拿走一堆”的做法假设，而实际上这么做并不大符合逻辑，于是这个分桃问题可以扩展为：

“n只猴子采得一堆桃，它们约定次日早起来分。半夜里，一只猴子偷偷起来，把桃均分成n堆后，发现还多一个，它吃了这桃子，拿走了其中一堆。第二只猴子醒来，又把桃子均分成n堆后，还是多了一个，它也吃了这个桃子，拿走了其中一堆。第三只，第四只......第n只猴子都依次如此做了。问桃子数最少有多少个?”