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net.ieee

木虫 (正式写手)

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[交流] 【求助】经典方向导数和Gateaux方向导数的定义有啥区别呀

经典方向导数是如下定义的
$\lim_{t\downarrow 0} \dfrac{f(x+td)-f(x)}{t}$
Gateaux方向导数定义为
$f'(x;d) = \lim_{t \to 0} \dfrac{f(x+td)-f(x)}{t}$
他们有啥区别？赶紧经典的求取极限的约束更加放松，而Gateaux反倒严格。为什么说Gateaux是经典导数的推广呢?

[ Last edited by net.ieee on 2011-2-12 at 14:19 ]

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1楼 2011-02-12 14:15:37

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jfili

金虫 (正式写手)

net.ieee(金币+1): 对函数使用范围的推广并不明显，经典导数对更广义空间上定义的函数就不能使用了了么？ 2011-02-15 19:33:05
net.ieee(金币+1): 2011-06-08 16:16:30

经典导数是对函数 f:R^n----->R^m;
而Gateaux方向导数可以定义函数 f:X------>Y (X,Y为两个Banach空间，或更广的空间或其局部凸子集，当然是必须有极限定义的拓扑空间)的导数

所以Gateaux方向导数是经典方向导数的推广。
不明白你所说的取极限的约束“更加放松”指的是什么？

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2楼2011-02-13 15:58:15

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net.ieee

木虫 (正式写手)

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t \downarrow 0求极限，显然是单侧极限，要比t \to 0从两侧获得相同的极限值来的容易，所以我认为是放松了求极限的条件。经典导数定义难道不能对定义在更加广义空间上的函数使用么？

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3楼2011-02-15 19:31:59

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jfili

金虫 (正式写手)

net.ieee(金币+1): 2011-06-08 16:16:26

比如说f(x,y)，d=(0,1)^T。由你给的定义，“经典方向导数”是指f(x,y)延y轴正向的导数，Gateaux方向导数是指f对y的偏导数。
我们在分析中最常用的是偏导数，而不是“经典方向导数”。

推广到一般的Banach空间中，比如说x是指L^2函数，不妨将此点记作u(x)
令f(u)=\int u^2 dx。
对L^2空间中的点 v
有f'(u; v)=2\int u(x)v(x)dx.
这个很明显不在是经典意义下的导数了

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4楼2011-02-16 15:12:43

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