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【讨论】用逐次排除法对哥德巴赫猜想的证明
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逐次排除法首先进行素数2的排除。 素数Si=2的排除周期T1=2，根据上面的结论，我们可建立2个新的等差数列：A=2n+2，B=2n+1，新数列的公差都是2。显然A数列就是排除数系列P1，其中除2以外没有任何一个素数；B数列则是剩余数系列Y1，此数列中有除2以外的全部素数。 在逐次排除法中，接着要在B数列中进行下一轮素数3的排除，不再关心A数列。 我们这时马上就发现“埃氏筛法”的问题了。明明在A数列中已经不存在任何素数了，我们完全可以不去管它。可是“埃氏筛法”仍然在A、B数列中同时进行排除，实际上，“埃氏筛法”在A数列的这部分排除工作全部是无效劳动，白白增加了工作量。 素数3的排除周期T2=2×3=6。素数S2=3参加排除时，3在奇数数列中每连续3个数中排除1个排除数，产生2个剩余数，我们此时可建立3个新的等差数列：A=6n+3，B1=6n+1，B2=6n+5。此时，A数列就是此轮排除产生的排除数系列P2，其中除3以外没有任何一个素数。两个B数列则是产生的剩余数系列Y2，其中一个是1系列，一个是5系列，显然，素数2、3以外，所有的素数都分属这1、5系列。 必须指出，每个大于3的素数都可在奇数数列中进行排除，例如，在连续5个奇数中也肯定可排除一个含5的因子的排除复合数，但那样做就乱了，也不好理解和记忆。 我们坚持按照从小到大的顺序进行排除，还因为这样做能够保证每次排除产生的剩余数系列最前面的部分一定是真正的素数系列，这也符合素数逐渐产生的实际情况。 接着，素数S3=5参加排除，5的排除周期T3=2×3×5=30。素数5在B1=6n+1、B2=6n+5这两个剩余数数列中每连续5个数各排除1个排除数，产生4个剩余数。我们此时可建立10个新的等差数列：A1=30n+5，A2=30n+25（两个A数列就是排除数系列P3）；B1=30n+1，B2=30n+7，B3=30n+11，B4=30n+13，B5=30n+17，B6=30n+19，B7=30n+23，B8=30n+29。这些B数列就是8大剩余数系列：1系列、7系列、11系列、13系列、17系列、19系列、23系列、29系列，除2、3、5外，所有的素数都分属这八大素数系列。 以后的排除就不一一细说，也没有必要再命名新的素数系列了，八大系列足矣！ 先讨论素数Sk的排除周期Tk，由上所述，素数Sk的周期值Tk=2×3×5×…×Sk。 Sk的周期值Tk有两个含义： 1、在[1，Tk]区间内，素数Sk排除时产生的排除数和剩余数都有一个确定的数值。2、周期值Tk是参加下一轮素数排除的剩余数系列的等差数列的公差值。 在[1，Tk]区间内，素数Sk排除时产生的排除数数量pk和剩余数数量yk的计算： 设上轮素数Sk-1的一个排除周期内产生的剩余数数量为yk-1，则本轮素数Sk的一个排除周期Tk内产生的排除数数量pk=yk-1，产生的剩余数的数量yk=(Sk－1) yk-1。 据此，我们计算出pk和yk在每一个排除周期内的数量如下表： 序号k 素数Sk 排除周期Tk 周期内的排除数数量pk 周期内的剩余数数量yk 1 2 2 1 1 2 3 6 1 2 3 5 30 2 8 4 7 210 8 48 5 11 2310 48 480 6 13 30030 480 5760 7 17 510510 5760 92160 说明： 1、上面表中的数据仅是部分数据，每轮排除都有一个数据，数据应该有无穷多组。 2、上面表中的数据是一个周期内的数据，在该轮排除的所有各个不同的周期内，此数量是完全相同的。所以，每轮素数Sk排除产生的排除数系列和剩余数系列实际上都是一个无穷数列，但是，在其一个排除周期内，则表现为一个确定的数量， 剩余数系列和排除数系列还有两个重要特性：周期性和周期内的对称性。 所谓剩余数系列和排除数系列的周期性，是指任何一轮素数Sk的排除产生的排除数和剩余数的数量甚至排列位置在不同的周期将会不断地重复出现，永远不会结束。 剩余数系列和排除数系列为什么在不同的周期内会不断地重复出现？ 设素数Sk的一个排除周期内产生的剩余数或排除数为集合A，设集合B=A+ Tk，因为Tk=2×3×5×…×Sk，即Tk能够被Sk整除，从同余的角度，对于Sk来说，相当于 Tk=0，即此时集合B和A对素数Sk的同余情况是完全一样的，所以它们有周期性。 剩余数和排除数在周期内的对称性指它们在素数Sk的一个排除周期内的排列呈对称分布，其对称点就是周期的中点。如素数5参加排除时，在[1，30]区间内，排除数5、25，剩余数1、7、11、13和17、19、23、29都是以15为中心呈对称分布。之所以会这样，是因为进行任何一轮排除时，在其一个周期内，排除从头到尾进行与从尾到头进行并没有本质的区别，只不过是表现出来的具体数字不同罢了，如1和29，7和23等。 我们再把素数7排除后一个周期内产生的48个剩余数写出来，让大家看一下它们的对称性：1、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、（对称点105）、107、109、113、121、127、131、137、139、143、149、151、157、163、167、169、173、179、181、187、191、193、197、199、209。当然，此时的剩余数系列中小于121的27个剩余数都是真正的素数系列。 这里回答一个问题： 我们每轮排除时产生的排除数系列都是Pk=Sk Yk-1，那么，排除数会不会发生遗漏？ 排除数肯定不会遗漏，一个都不会少，这是因为剩余数系列和排除数系列都有周期性的原因。例如，在素数5排除时，在其第一个排除周期内，我们将排除5×1=5和5×5=25两个排除数，与此同时，在1系列（6n+1）、5系列（6n+5）中，我们在每5个数中也必须排除一个排除数，也只能产生两个排除数。今后，因为每轮排除产生的剩余数和排除数都有周期性，所以，与1、5对应的是7、11，13、17，……，与5、25对应的是35、55、65、85，……，两者都是一一对应的。因此，在任何素数Sk的一个排除周期内，上面的这个Pk和Yk-1的数量都一定是相等的，所以，不会遗漏任何排除数。 逐次排除法怎样计算某[1，2N]区间（Sm2＜2N＜Sm+12）内的素数数量 (2N)？ 我们知道，因为每轮素数Sk排除产生的剩余数系列最前面的部分一定是真正的素数系列，所以我们必须认真研究剩余数系列的特点。 为了进行计算，我们先引入剩余数系列在自然数中的平均密度这个概念。 剩余数系列的平均密度 指剩余数系列的总数量在自然数中的分布率。 在逐次排除法中，每轮素数Sk参加排除时，在由上轮素数Sk-1排除后一个周期内产生的剩余数形成的每个等差数列子系列Syi＋ Tk-1中，每连续Sk个数中必定排除一个含Sk因子的复合数，就是说在每个子系列中产生的排除数的数量都是总数量的1/Sk，这个结果是不容置疑的。所以，本轮素数Sk排除后产生的剩余数系列的平均密度，一定是上轮的剩余数系列平均密度的（1－1/Sk，）这个结论也是非常准确、不容置疑的。 首先，我们设原始剩余数系列Y0（就是自然数本身）的平均密度 。 素数S1=2参加排除时，剩余数系列Y1的平均密度： 素数S2=3参加排除时，剩余数系列Y2的平均密度： 素数S3=5参加排除时，剩余数系列Y3的平均密度： 素数S4=7参加排除时，剩余数系列Y4的平均密度： …… …… 任何素数Sk参加排除时，剩余数系列Yk的平均密度： 当参加[1，2N]区间排除的最大素数Sm参加排除时，剩余数系列Ym的平均密度： ，或者 = 后面的这个公式是一个简化写法，如果写成普通计算式，则： = …… …… 显然，如果剩余数系列Ym= (Tm，Sm)的分布是比较均匀的，或者大致均匀的： 则[1，2N]区间剩余数数量的理论值： (2N，Sm)=2N =2N （5） 注意：这里的П形符号表示括号连乘的意思，公式（5）的计算只计算到Sm为止。 因为剩余数系列Ym中小于Sm+12的部分是真正的素数系列，所以，某[1，2N]区间（Sm2＜2N＜Sm+12）内的素数数量 (2N)的理论计算值： (2N) = (2N，Sm) + 我们实际计算一下公式（5），我们仍然计算2N =30时的素数数量，此时Sm =5。 (2N，Sm)=2N =30 =8。 可见计算比“埃氏筛法”简单，此时公式的误差为0，但一般来说公式仍然有误差。例如，2N =28时，此时仍然Sm =5。计算值 (2N，Sm)=2N = 。 但是，实际值 (2N，Sm)=7，此时有一个小误差，绝对值不到0.5，但是，其相对误差却很惊人。相对误差= 我们再看上面由“埃氏筛法”推导出的公式（3）： (2N，Sm)=2N =2N[1－ ＋ －…＋ ]（3） 可见，由剩余数系列的平均密度 得出的公式（5）和公式（3）的确是完全一样的。但是，两个公式的内涵完全不同，公式（5）没有公式（3）后面的一个大尾巴。 在逐次排除法中，公式（5）的误差是由剩余数系列的均匀性决定的，因为剩余数系列的分布都是相对均匀的，所以，公式（5）的误差一定是相对比较小的。 那么，逐次排除法中的剩余数系列的分布是均匀的吗？ 我们知道，逐次排除法的每轮素数Sk排除中，在素数Sk的一个排除周期Tk的范围内，素数Sk在上轮排除产生的剩余数系列中都精准地排除掉其总数的1/Sk。因此，从总体上讲，从纵向讲，素数Sk排除产生的排除数和剩余数都是非常均匀的，剩余数系列直到无穷无尽时，其均匀性都没有任何问题。 而且，逐次排除法的排除是从非常均匀的自然数系列中开始的。当参加排除的素数较小，例如为2、3、5、7时，这时产生的排除数的比例相当大，在小范围内产生的剩余数都相对比较均匀，这些较均匀的剩余数系列是无穷无尽的。而较大的素数参加排除时，产生的排除数的数量来说也比较小，这些对系列的均匀性影响应该相对比较小。 我们先看一下5素数排除时在30范围内产生的8个剩余数的均匀性。该剩余数系列的平均密度为3.75，我计算出1～30的每个自然数时其剩余数的偏差值如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 误差 0.734 0.467 0.2 —0.066 —0.333 —0.6 0.133 —0.133 —0.4 —0.666 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 误差 0.066 —0.2 0.533 0.266 0 —0.266 0.466 0.2 0.933 0.666 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 误差 0.4 0.133 0.866 0.6 0.333 0.066 -0.2 -0.466 0.266 0 素数7排除后，在一个周期内产生的48个剩余数我也写在前面，大家也可看一下是否也基本均匀。我也实际计算过，该周期范围内剩余数的偏差值最大也不到±2，因为要超过7的平方49来考虑问题，所以，其相对误差不会超过4%。 所以，我们有理由相信，在逐次排除法的任何一轮排除中产生的无穷无尽的剩余数系列都是大致均匀的，这是一个非常重要的结论，是整个逐次排除法的理论基础。 则我们从公式（5）得出的公式（6）就是[1，2N]区间素数数量的理论正确值公式： (2N) = (2N，Sm) + =2N + =2N + （6） 公式（6）正确吗？应该说完全正确，因为剩余数系列是客观存在的，剩余数系列的平均密度也是客观存在的，按平均密度来计算其中的一段应该是很有道理的。 公式（6）准确吗？只能说基本准确，而且肯定会存在一定的误差。因为上面说的剩余数系列是大致均匀或者相对均匀，是从宏观说的，是从素数Sm的一个排除周期Tm的范围内说的。但是，该剩余数系列的最前面存在真正素数的一段区间[1，Sm+12），和素数Sm的排除周期Tm相比，实在是太短了，当Sm无穷大时，这个小区间的长度可能只相当于一个点。在这个相对比较短的一个小[1，Sm+12）区间里，剩余数系列局部的密度难免会有一定的波动，这就是按此公式计算一定会有误差的根本原因。 那么，公式（5)的相对误差究竟最大有多大呢？ 我认为，公式（5）相对误差的上限应该是±33.33%，试证明如下： 根据举世公认的素数定理 (2N)= ，可得出 。 显然， (2N)的密度大致是 ( )密度的二分之一，无数实例也证明了这点。 设 (2N)的密度为A，密度的误差为W，因为 (2N)包括的素数都是经过 ( )包含的素数排除后才到底的，所以，可断定 (2N)的密度一定会小于 ( )的密度。 则，应该有下面的关系式存在：∵A+W＜2A―2W，即3W＜A，∴W＜A/3。 所以，我认为，按公式（5）计算，素数数量的最大误差不会超过±33.33%。 实际情况是： 前面我已经计算过，2N=28时，绝对误差Cm=－0.466，绝对误差很小，但剩余数系列密度的相对误差值高达 。当2N= 109时，Cm=－3325876，虽然误差三百多万个，但是相对误差还不到 。可见，在我目前已知的范围内，公式（5）最大相对误差值居然出人意外地发生在5排除后产生了8个剩余数的第一个排除周期里。 所以，我认为按公式（5）计算素数数量，不会出现数学家担心的那种巨大偏差。 表1 部分[1，2N]区间素数实际数量与理论计算值及其误差表 偶数2N m (2N，Sm) (2N) B (2N) Cm （％） 28 3 7.466 10.466 1.8485 10 －0.466 －6.25 100 4 22.857 26.857 1.8617 26 －0.857 －3.749 1000 11 152.852 163.852 2.0343 169 +5.148 +3.368 10000 25 1203.173 1228.173 2.0355 1230 +1.827 +0.152 30030 40 3220.486 3260.486 2.0570 3249 －11.486 －0.356 100000 65 9651.938 9716.938 2.0582 9593 －123.938 －1.284 200000 86 18267.321 18353.321 2.0556 17985 －368.321 －2.016 500000 126 42548.848 42674.848 2.0559 41539 －1135.848 －2.669 106 168 80965.263 81133.263 2.0542 78499 －2634.263 －3.253 2×106 223 154556.482 154779.482 2.0507 148934 －5845.482 －3.782 5×106 331 363489.485 363820.485 2.0515 348514 －15306.485 －4.210 107 446 696013.937 696459.937 2.0512 664580 －31879.937 －4.580 2×107 607 1333662.825 1334269.825 2.0530 1270608 －63661.825 －4. 773 9×107 1175 5510079.757 5511254.757 2.0530 5216955 －294299.757 －5.341 108 1229 6088458.891 6089687.891 2.0526 5761456 －328231.891 －5.391 109 3401 54169954.88 54173355.88 2.0510 50847479 －3325876.88 －6.139 说 明： 1、表中 (2N，Sm)=2N ， (2N)= (2N，Sm) + m = 2N + m。 2、表中B= ，反之 ，B是一个与素数数量有关的系数。 3、表中 = Cm /2N ， 是剩余数系列 (2N，Sm)的相对误差。 4、为了计算109时素数的数量，我用手工计算剩余数系列的平均密度到Sm=31607，m=3401，上面表中 (2N，Sm)一栏的所有数据都是我实际地手工计算出来的。 关于公式（5），王元先生还有一段论述：王元先生在“王元论哥德巴赫猜想”书中第122页写道：“……事实上，如果 (N)有限，那么 只有有限项相乘，所以不能是0。……由它可以得到 (N)的一个粗略估计。这里的方法是属于欧拉的。” 这里，王先生是从欧拉函数这个角度来讨论公式（5）的，前面已经说过，从“埃氏筛法”也可得出公式（5）。当然，我是从剩余数系列的平均密度得出公式（5）的，但我得出公式（5）时，都不知道有欧拉函数和“埃氏筛法”的存在。 可见，同一个公式（5），是可以从不同角度得出的，但是，其内涵却大有区别。 前已说过，数学家从“埃氏筛法”角度分析公式（5）得出了天价的误差，那样的误差如果真存在的话，任何人都必须否定公式（5）。但是，王先生又说由它（指公式（5））可以得到 (N)的一个粗略估计，可见此时王先生对公式（5）的评价已经发生了变化。 那么，公式（5）究竟 (N)的一个粗略估计，还是比较准确的计算公式呢？ 从实际的情况来看，在笔者知道的范围内，公式（5）的准确度都已经超过了90%，犹如学生的考试成绩都超过了90分，那么，这个公式应该算是基本准确吧！ 必须指出，数学家分析公式（3）的误差Cm=2m，是从“埃氏筛法”角度分析的，但是，这个结果对我从逐次排除法得出的公式（5）完全不适用。因为，我的每轮排除都只在剩余数系列中进行，而“埃氏筛法”却要坚持在排除数中进行反复排除。这部分工作不仅费时费力，还产生了许多不应该产生的误差，我没必要为这些误差买单。 例如，逐次排除法的第一轮排除就排除了全部偶数，地球人都知道，偶数中除2以外没有任何素数存在，既然如此，“埃氏筛法”为什么还要在偶数中反复排除呢？ 显然，如果“埃氏筛法”只在奇数中进行排除，第一、工作量马上可以减少50%。第二、即使按数学家的分析，此时的误差也应该变为Cm=2m-1，误差也立即减少50%。这样做，既省时、省力，又对最后的结果没有任何影响，我们为什么不进行改进呢？ 实际上，“埃氏筛法”在我的逐次排除法的每轮排除产生的排除数中都要反复进行再排除，反复进行无效劳动，这样不知浪费了多少精力，产生了多少虚幻的误差。 所以，我认为我根据剩余数系列的平均密度得出的公式（5）就是计算素数数量的理论正确值公式，而且，我得出的这个公式（5）应该是基本准确的。 我还认为，公式（5）至少也应该是王元先生说的那样是“对 (N)的一个粗略估计”。 我想，所谓粗略估计，至少是说公式的实际值应该大于0吧！这样的标准虽然不高，但我认为还可以接受。因为，对于证明哥德巴赫猜想来说，就是要证明任何自然数N两端至少存在着一个对称素数对，其计算公式只要能够确保实际值大于0就行，没必要规定公式非要计算得非常准确，那样的要求应该是一个锦上添花的要求了。 实际上，我以后得出的计算公式也与公式（5）类似，所以，我认为必须确立公式（5）在素数研究中的地位，不能让公式（5）轻易被否定。 另外，如果用对数表示，我得出的的公式（6）还可变为公式（7）： (2N)= (2N，Sm) + m = 2N + m= 。 （7） 说明：公式（7）分母中的系数2.05是我手工算出的，如果用计算机进行更大范围的计算，结果可能会更准确一些，我认为系数的数值也可能略有变化。 目前，数学家计算素数数量的公式如下： 数学界公认的素数定理是： 高斯先生的对数积分公式为： ～ ， 。 数学前辈的两个公式中，对数积分的公式非常准确，素数定理的公式误差比较大。 我认为公式（7）至少应该是计算素数数量的一个基本的公式，公式（7）和数学家的得出的公式相比，相对误差最多也没有超过20%，为什么没有它的一席之地呢？ 最后，希望大家认真记住我下面的一段话： 在逐次排除法中，任何一轮素数排除产生的排除数系列和剩余数系列都是一个无穷无尽的系列，它们在自然数中的分布都是相对均匀的或者是大致均匀的。 我认为，所有复杂的素数问题都必须根据上面这个结论才能得到圆满的答案。 希望大家耐心看我的系列讲座，下一讲我讲孪生素数猜想，文章会短得多。 陈 礼 2010年12月13日13：20于北京市建国路29号。 |
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