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wowo315

铜虫 (初入文坛)

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[交流] 【求助】关于函数逼近中的Legendre多项式展开，高阶反而比低阶差

最终目标：我想找到一种最好是解析的、精确的函数逼近方法来对sqrt(r^2+x^2)关于x进行多项式展开，该展开要比泰勒展开精确。

目前问题：论文上看到有人采用Legendre多项式对上述函数进行展开。我实现的时候，采用Legendre多项式解析求出每一阶系数，得到解析的展开结果。取不同的r，当r=100时，Legendre 3阶展开最大误差数量级是10^(-8)。但是采用4阶展开，得到的结果误差数量级却有10^(-4)。如果r比较小，比如小于50，同样的展开，4阶展开误差就比3阶小。

另外，书上讲Legendre多项式展开其实是基于最小二乘意义的正交多项式逼近，采用多项式展开的目的其实就是求解病态的最小二乘范德蒙德方程。但是同样的函数，我采用matlab函数中的polyfit（该函数是基于最小二乘的多项式拟合）进行4阶最小二乘拟合，得到的结果就与预期的相符，即阶数越高，展开结果越好，并且采用polyfit进行拟合得到的结果比同样阶数泰勒展开得到的结果精确。我看了一下该函数的源代码，它就是直接求解的范德蒙德方程。

我想问的是：（1）出现上述r=100时，4阶展开比3阶展开误差大的原因是什么？是正常的吗？Legendre展开是不是可能存在展开误差不随阶数增大而减小的情况？
（2）我用Legendre展开得到的结果与用最小二乘逼近得到的结果为什么差别很大？
（3）是否存在其他比较好的多项式逼近方法来对上述函数进行展开？

Matlab代码如下：
x=-1:0.01:1;
r=100;
s=sqrt(x.^2+r^2);

%计算s与Legendre多项式的积分
Le0=1/2*sqrt(r^2+1)+1/2*r^2*log(1+sqrt(r^2+1))+1/2*sqrt(r^2+1)-1/2*r^2*log(-1+sqrt(r^2+1));
Le1=0;
Le2=1/16*(sqrt(r^2+1)*(2+3*r^2)-r^2*(4+3*r^2)*log(1+sqrt(r^2+1)))-1/16*(-sqrt(r^2+1)*(2+3*r^2)-r^2*(4+3*r^2)*log(-1+sqrt(r^2+1)));
Le3=0;
Le4=1/384*(sqrt(r^2+1)*(-105*r^4-110*r^2-8)+3*r^2*(24+60*r^2+35*r^4)*log(1+sqrt(r^2+1)))-1/384*(-sqrt(r^2+1)*(-105*r^4-110*r^2-8)+3*r^2*(24+60*r^2+35*r^4)*log(-1+sqrt(r^2+1)));

%Legendre多项式

P1=x;
P2=3/2*x.^2-1/2;
P3=5/2*x.^3-3/2*x;
P4=35/8*x.^4-30/8*x.^2+3/8;

%展开结果
temp=1/2*Le0+3/2*P1.*Le1+5/2*P2.*Le2+7/2*P3.*Le3+9/2*P4.*Le4;
plot(s-temp)

三阶展开误差如下：