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kakatiti

铁虫 (初入文坛)

[交流] 【求助】2维向量同构于复数域的一个问题 已有2人参与

在复数域理论中其唯一性定理表述如下:
      R上的任意一个2维向量空间,如果是一个结合、交换、具有单位元、无0因子的环,则同构于复数域。
       但按定义而言,向量空间的两种运算是加法与数乘,但对环而言其中的两种运算必须是集合中任意元素之间的二元运算,这时对向量空间而言,其数乘运算不是任意元素之间的乘法运算,它只是向量空间中任意元素在一基元上投影与任意元素的二元运算,那向量空间就不存在除加法外的第二种对任意元素均有意义的二元运算。因此说2维向量空间是环,是不是不对啊?既然不是环,那就不可能同构于复数域。
       想请问各位老师,我的理解那里有错?
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科学农民工

木虫 (初入文坛)


小木虫(金币+0.5):给个红包,谢谢回帖交流
这里说的环的乘法不是数乘,而是任意定义的一个乘法——与向量的加法相容的乘法——使之成为一个环。
2楼2010-09-10 11:02:30
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)


小木虫(金币+0.5):给个红包,谢谢回帖交流
就向量空间本身而言,它当然不能说成是环。但是,向量空间是一个加法群,如果在这个加法群中可以定义一种乘法(加法群内部的二元运算),这个乘法跟加法之间适合分配律,那么这个向量空间就能同时成为一个环。在这种情况下,我们一般不再把它叫做一个向量空间,而称它为一个代数

[ Last edited by Pchief on 2010-9-10 at 11:35 ]
3楼2010-09-10 11:28:22
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