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bestsing

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[交流] 小波分析

小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的
双重意义。

　　小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，
通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认
可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷
级数的创新概念未能得到著名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可
一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无
条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史
上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并
与S.Mallat合作建立了构造小波基的同样方法及其多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃
发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wave
lets）》对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabo
r变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸
缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了
Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分
析发展史上里程碑式的进展。
　　小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。现在，它已经在科技
信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，
它的重要方面是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分
，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地
重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理（图象可
以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题
。现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是
在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析
。

　　事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图
象处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐
与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；
例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求
解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象
压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间
，提高分辨率等。

(1)小波分析用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，
压缩速度快，压缩后能保持信号与图象的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分
析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零
树压缩，小波变换向量压缩等。

(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪
分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。

(3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇
宙的研究与生物医学方面。

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