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[交流] 【求助】方程不同导数的意义不一样已有2人参与

对于曲线议程F，Fx表示是切线切向量，而对于曲面方程F，Fx,Fy,Fz表示是法向量，为什么同样导数，一个成切线，一个是法线呢？

[ Last edited by javeey on 2010-7-12 at 14:55 ]

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1楼 2010-07-10 23:27:53

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onesupeng

金虫 (职业作家)

数学EPI: 17
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小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
javeey(金币+3):谢谢提供解答 2010-07-12 14:55:42
wuguocheng(金币+2, 数学EPI+1):挺详细 2010-07-12 21:38:16

同样的问题，以前已经有人问过。

y=F（x）和F（x，y）=0

z=F（x，y）和F（x，y，z）=0

写个特例对比对比，就能得到解释。

例如：

a、对于曲线
y=x^2
于是（dx，dy）=（1，2x）dx为曲线的切向量
而F（x，y）=y-x^2=0的情况有所不一样，（Fx，Fy）=（-2x，1）显然变成法向量。因此说曲线方程的时候，应该说清楚或者看清楚。说法确定，则结论也是确定的。

b、对于曲面

z=x^2+y^2
(dx,dy,dz)=(dx,dy,2xdx+2ydy)，这个向量是在平面内的。即与平面相切。

而

F（x，y，z）=z-（x^2+y^2）=0时，（Fx，Fy，Fz）组成的向量同样是法向量。

对于切向量的理解，应该是从微分的角度出发的，如曲线的（dx，dy）组成曲线切向量，（dx，dy，dz）是曲面的且向量。

而形如F（x，y）=0或者F（x，y，z）=0是等值线（面）的意义，我们可以写成
F（x，y）=c或者F（x，y，z）=c的形式，对于不同的c，他们代表不同的曲线（面），如果假想对c变分，就可以写成形如dc=\nabla F \cdot (dx,dy)或者dc=\nabla F \cdot (dx,dy,dz)的形式，根据梯度的含义，它是c变化最快的方向，\nabla F只能是曲线（面）的法向量。当（dx,dy）或者（dx,dy,dz）在线（面）内，dc=0，进一步说明\nabla F只能是曲线（面）的法向量。

[ Last edited by onesupeng on 2010-7-11 at 07:29 ]