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天仙老人

木虫 (小有名气)

九界天尊

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[交流] 【求助】脑瓜不好使，又被量子力学搞晕了已有13人参与

在学习量子力学时，粒子作一维自由运动，根据薛定谔方程求解平面波函数，薛定谔方程里包含E=pp/2m的关系，当然这里p是动量算符，解出的波函数里包含E与p因子，这里E和p应该仍满足E=pp/2m的关系，亦即E和动能对应。而根据德布洛意关系有，E=hv，p=h/s，s为波长，这里的E确是相对论能量，即E=mcc，不等于pp/2m。
所以我想在平面波函数里的能量E不能理解为动能，E=pp/2m应该不成立的，但又如何理解算符H=pp/2m的关系呢？

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成功需要智勇的执著

1楼 2010-04-26 22:11:28

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wzhiqustc

金虫 (小有名气)

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天仙老人(金币+10):谢谢解答，接受您的意见，多思考再提问 2010-04-27 18:04
GrasaVampiro(金币+10): 2010-04-28 01:06

引用回帖:

Originally posted by 天仙老人 at 2010-04-27 16:36:51:

我是在一本书里看到有关德布洛意建立此关系式时产生的疑问，书中说粒子以速度u运动时总是伴随一个位相波，相速度为lambda*v=cc/u，粒子能量与此位相波频率v的关系为E=Mcc=hv，M为相对论运动质量。
我想在低速情 ...

我没看过原文，不知道具体情况是怎么样的。我只知道德波罗意有一篇论文中有关于mcc能量量级对应的波，不过即使对于电子，你也可以估计一下其频率有多大。到现在为止，还没有直接的实验来验证这样高频的效应。即使能观测，要观测的话我想也应该是在相对论条件下去观测的。

德波罗意关系出名在于它对一般的情况都成立，而非其中的某个具体例子。德波罗意关系只是提出任何一个粒子的运动都对应于一种波动。而且给出相应的omiga，k与E,p的对应关系。德布罗意关系中并不要求能量和动量之间的具体关系为什么样，更没有说E一定等于mcc.你要是考虑粒子总的能量，那么你得到的色散关系是比较复杂的，这时应该用相对论量子力学的方程去描述；你可以把该色散关系展开，其中有omiga=mcc/h+hkk/2m+O(kkkk),然后你去做非相对论近似的。对于非相对论情况，mcc/h贡献的频率太大，体现不出可观测效应。那么就把这项扔了，对应的，就应该把静止能量部分的效应去掉。最后得到Schrodinger方程。因此最后的Schrodinger方程上的E~Es,而不是整个的E,而且也满足德波罗意关系。

当粒子运动时，粒子的能量不再等于其静止能量，若果考虑低速运动，那么粒子的能量可以近似的写为：E=mcc+Es;Es代表Schrodinger 能量，这时由德波罗意关系omiga=E/h=mcc/h+Es/h，Es=pp/2m+V. 设V=0,那么omiga=mcc/h+hkk/2m=omiga1+omiga2.我们见到的非相对论情况只考虑omiga2，不考虑omiga1.非相对论情况下omiga1的效应基本观测不到，可以忽略。因为这时omiga1>>omiga2.首先它对同一粒子某一时刻的概率密度分布与不考虑它时相比没有影响。另外考虑不同态的相干叠加，由于它贡献的频率巨大，相干叠加项几乎瞬时就抹平了，因此它的相应也观测不到。所以我们不必去理会它；

再者此时考虑(Es,p)~(omiga,k)的对应关系，也是符合德波罗意关系的。

ps:我说的色散关系是借用固体理论等里面的概念说omiga~k的关系，而不是说这里会发生色散。我们讲的不是同一个概念。

说的很罗嗦，说句实在话，网络上回答问题的效率真的不是很高。许多时候可以多想想，多问问同学老师