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小龙人

木虫 (著名写手)

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[交流] 【求助】证明群中属于同一类的所有元素都有相同的阶,但逆命题不成立已有4人参与

求助群论问题：
证明群中属于同一类的所有元素都有相同的阶。

举出一相反的实例证明此结论的逆不一定正确。

谢谢相助。谢谢

[ Last edited by GrasaVampiro on 2010-4-15 at 15:54 ]

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简单静好

1楼 2010-04-15 19:46:58

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just_play

至尊木虫 (正式写手)

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★
tongling921(金币+1):3X 2010-04-15 21:38
小龙人(金币+18):谢谢just_play的解答，您的回答很精彩。特别感谢您的帮助！好运！ 2010-04-15 22:25

证明：设a，b属于同一类，则存在群元x满足：a=xbx^-1,若b的阶为n:b^n=e,则有：a^n=(xbx^-1)^n=xbx^-1*xbx^-1*...*xbx^-1=xb^nx^-1=xex^-1=e，故a,b有相同的阶。
对逆命题的反例：考虑循环群{e,a,a^2}，其中a^3=e,由于循环群是abel群，每个元素自成一类，所以a与a^2不属于同一类，但a与a^2的阶都是3.

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So Trivial !

2楼2010-04-15 20:03:07

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yzcluster

金虫 (著名写手)

小木虫扫盲人

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管辖: 量子化学

这个题很简单吧

★
tongling921(金币+1):3X 2010-04-15 21:38
小龙人(金币+12):谢谢您的解答，您的回答也很精彩。举例很好。谢谢啊。祝好运！ 2010-04-15 22:26

比如设群元X和Y为同一个类中的群元，则必存在群元A，有Y=AXA-1，其中A-1是A的逆元。
如果已知X的阶为n，则X的n次方，即X^{n}=E，E为单位元。
则Y的n次方为Y^{n}=（AXA-1）^{n}=(AXA-1)(AXA-1)...... (AXA-1)(AXA-1)
一共是n个AXA-1相乘。利用结合率，并考虑到AA-1=E 上式接着等于
=AX^{n}A-1
=AEA-1
=AA-1=E
这就证明了Y的阶也为n

至于第二问，例如中心反演操作I和旋转180度的操作C2，两者的阶都是2，但是很显然，前者是第二类操作，后者是第一类操作，不可能是同类。

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3楼2010-04-15 20:15:28

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