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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 材料区 » 功能材料 » 基础研究 » 【求助】关于对称变换的一个疑问
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touchhappy

金虫 (著名写手)

[交流] 【求助】关于对称变换的一个疑问 已有8人参与

我不是学物理的，最近在看书时看到这么一段话，不是很理解，想请教专业人士，原文如下：“在三维空间，一个通常的坐标变换（操作）一般可以分解成两部分，一个是平移部分，用矢量t表示，一个是非平移部分，用矩阵M来表示，则新的位置矢量r'=gr=Mr+t，对于点对称情况，矩阵的行列式要等于正负一。”就是看到这里不明白，为什么关于点对称，detM就要等于1或者是-1呢？期待高手的解答，金币不多，聊表心意
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吃货萌萌哒！！
1楼 2010-04-14 22:23:52
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xia_chong

金虫 (文坛精英)

优秀版主
★
tongling921(金币+1):3x 2010-04-14 23:37
touchhappy(金币+1):解释的有点深奥，呵呵，不过很感谢 2010-04-16 01:51
我也不知道“点对称”是什么概念。在对于空间中的点（或者说矢量），我们对其有三种操作方式：平移、转动和反射。这三种操作均属于欧氏变换（有可能就是上面所说的点对称），平移对应于t，转动和反射对应于M，要求M是正交阵。若无反射，则detM=+1，若包含反射，则detM=-1。
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Godhelpsthosewhohelpthemselves!
2楼2010-04-14 23:08:57
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wzhiqustc

金虫 (小有名气)
★
tongling921(金币+1):3x 2010-04-14 23:37
touchhappy(金币+2):矩阵M的行列式等于一就是说变换前后体积元不发生变化，相当于没有压缩也没有拉伸，只是做了一个刚性的转动 这句话对我有些启发，谢谢 2010-04-16 01:52
不知道点对称是指什么，不过矩阵M的行列式等于一就是说变换前后体积元不发生变化，相当于没有压缩也没有拉伸，只是做了一个刚性的转动，反演，平移。个人觉得这样理解就可以了，也许文中想说的就是这个意思，不用太理会“点对称”这个词

金币可以不用分享滴~
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3楼2010-04-14 23:21:12
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witch_girl

金虫 (文坛精英)
★
tongling921(金币+1):3x 2010-04-14 23:37
touchhappy(金币+2):矩阵论里面有讲Householder矩阵和Givens矩阵，也就是对应着反射和转动变换，而这两种矩阵的行列式分别是-1和+1 这个解释很有启发，有点明白，谢谢 2010-04-16 01:54
就是楼上所说，有这三种方式。其中转动和反射，楼主不是学物理的，那么是否学过矩阵论呢，矩阵论里面有讲Householder矩阵和Givens矩阵，也就是对应着反射和转动变换，而这两种矩阵的行列式分别是-1和+1.这是我的理解，希望对楼主有帮助~~~
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Make it or Break it
4楼2010-04-14 23:29:48
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yzcluster

金虫 (著名写手)

小木虫扫盲人
★
tongling921(金币+1):3x 2010-04-14 23:37
touchhappy(金币+1):谢谢 2010-04-16 01:54
其实这里面牵扯点群的问题，LZ可以去看一看群论的东西。
简单的理解，M这里就是点群某个群元的表示矩阵。如果群元仅仅是转动等操作（有时又叫做第一类操作），其表示矩阵行列式为1。如果群元中包含（或者就是）反演或反映操作，则其表示矩阵行列式为-1。
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5楼2010-04-14 23:33:36
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zhaoxh04

银虫 (正式写手)
★
yzcluster(金币+1):xxx 2010-04-15 16:04
touchhappy(金币+1):谢谢 2010-04-16 01:55
矩阵行列式为正负一是非缩放变换啊。点操作知识一种旋转。
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Zerg Zerg Zerg ！
6楼2010-04-15 08:43:49
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碧眼紫髯

金虫 (初入文坛)

教师
touchhappy(金币+3):但不包括平移（因为平移必然没有一个不动点），所有描述转动和反演的矩阵，行列式肯定是1或-1——即在这种操作下矢量长度不变 这句话很有启发，谢谢 2010-04-16 01:56
所谓“点对称”，就是说“关于一个点对称”，这样的操作属于点群，包括转动和反演，但不包括平移（因为平移必然没有一个不动点）。所有描述转动和反演的矩阵，行列式肯定是1或-1——即在这种操作下矢量长度不变。
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7楼2010-04-15 21:30:21
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笨笨猫007

木虫 (小有名气)
★
yzcluster(金币+1): 2010-04-16 11:21
touchhappy(金币+1):3x 2010-04-17 20:37
矩阵M的行列式等于一就是说变换前后体积元不发生变化，相当于没有压缩也没有拉伸，只是做了一个刚性的转动，反演，平移。
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爱睡觉的懒猫！
8楼2010-04-16 11:09:05
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gaowei701

银虫 (初入文坛)
touchhappy(金币+1):3x 2010-04-17 20:37
“点对称”就是绕一定点的转动和反演，对于所对应描述的矩阵，其行列式就必然是1或-1.其意思就是说体积，长度未发生改变，只是空间位置发生移动或转动。
这是我了解的，希望对你有所帮助。若是你想了解更多关于点群的知识，看看固体物理，里面有讲解。
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9楼2010-04-16 12:52:04
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