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cosmology

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[交流] 60金币请教高人一个正交性问题

见附件,愿献60金币求证明过程

[ Last edited by cosmology on 2010-1-21 at 08:28 ]

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1楼2010-01-20 15:46:09

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bluesine

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Doctorcbw(金币+40):按照楼主的要求还有你的热情应答，奖励40bb给你！ 1-24 20:31
Doctorcbw(金币+20):按照楼主的要求还有你的热情应答，奖励20bb给你！ 1-24 20:31

好吧，我试试。
结果
>> 2*int('sin(2*n*pi*x)*cos((2*m-1)*pi*x)',0,1)
ans =
-8*(n-sin(n*pi)*cos(n*pi)*sin(pi*m)*cos(pi*m)+2*n*cos(n*pi)^2*cos(pi*m)^2-n*cos(n*pi)^2-n*cos(pi*m)^2+2*m*sin(n*pi)*cos(n*pi)*sin(pi*m)*cos(pi*m))/pi/(2*n+2*m-1)/(-2*n+2*m-1)
整理一下（因n,m是整数,sin(k*pi)=0,cos(k*pi)=(-1)^k）得到

A(n,m)=-8*n/pi/(2*n+2*m-1)/(-2*n+2*m-1)
                                 8*n
      =  ——————————————————
                  [(2n)^2-(2*m-1)^2]*pi

从而sum(A(n,m)*A(l,m)

      64*l*n                         1
  =  —————— *sum( —————————————————————————  )
   (pi)^2                [(2n)^2-(2*m-1)^2] * [(2n)^2-(2*m-1)^2]


当n等于l 时，结果显然非零。（是否等于1无关紧要，只要将其归一化就可以了，验证了一下几个值，貌似还真是1 ！主要讨论n和l 不相等的情况）
当n不等于l时，可以将其化简
sum(A(n,m)*A(l,m)

      16*l*n                               1                            1
= ———————— *sum( —————————— -  ————————————  )
(pi)^2*(n^2-l^2)    [(2*m-1)^2-(2n)^2]       [(2*m-1)^2-(2l)^2]

而
                  1
sum( ——————————)=0          (对任意k)
   [(2*m-1)^2-(2k)^2]

从而得到正交性

[ Last edited by bluesine on 2010-1-23 at 14:15 ]