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60金币请教高人一个正交性问题
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见附件,愿献60金币求证明过程 [ Last edited by cosmology on 2010-1-21 at 08:28 ] |
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好吧，我试试。 结果 >> 2*int('sin(2*n*pi*x)*cos((2*m-1)*pi*x)',0,1) ans = -8*(n-sin(n*pi)*cos(n*pi)*sin(pi*m)*cos(pi*m)+2*n*cos(n*pi)^2*cos(pi*m)^2-n*cos(n*pi)^2-n*cos(pi*m)^2+2*m*sin(n*pi)*cos(n*pi)*sin(pi*m)*cos(pi*m))/pi/(2*n+2*m-1)/(-2*n+2*m-1) 整理一下（因n,m是整数,sin(k*pi)=0,cos(k*pi)=(-1)^k）得到 A(n,m)=-8*n/pi/(2*n+2*m-1)/(-2*n+2*m-1) 8*n = —————————————————— [(2n)^2-(2*m-1)^2]*pi 从而sum(A(n,m)*A(l,m) 64*l*n 1 = —————— *sum( ————————————————————————— ) (pi)^2 [(2n)^2-(2*m-1)^2] * [(2n)^2-(2*m-1)^2] 当n等于l 时，结果显然非零。（是否等于1无关紧要，只要将其归一化就可以了，验证了一下几个值，貌似还真是1 ！主要讨论n和l 不相等的情况） 当n不等于l时，可以将其化简 sum(A(n,m)*A(l,m) 16*l*n 1 1 = ———————— *sum( —————————— - ———————————— ) (pi)^2*(n^2-l^2) [(2*m-1)^2-(2n)^2] [(2*m-1)^2-(2l)^2] 而 1 sum( ——————————)=0 (对任意k) [(2*m-1)^2-(2k)^2] 从而得到正交性 [ Last edited by bluesine on 2010-1-23 at 14:15 ] |
10楼2010-01-23 13:38:31
