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wudzir

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[交流] 【求助】请教谱方法与谱元法以及有限元的区别与联系

经常看到普方法以及普元法，但是不知道他们之间的区别与联系是什么，另外好像还有什么h/p spectral element method.不知道他们之间有什么联系？和有限元又有什么联系？

[ Last edited by javeey on 2010-3-22 at 08:41 ]

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1楼2009-12-23 01:19:52

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cool_smile

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haixing2008(金币+3,VIP+0):多谢解答！期待续集，呵呵 12-23 11:30

引用回帖:

Originally posted by wudzir at 2009-12-23 01:19:
经常看到普方法以及普元法，但是不知道他们之间的区别与联系是什么，另外好像还有什么h/p spectral element method.不知道他们之间有什么联系？和有限元又有什么联系？

前面他们提到的帖子是我整理的，本来打算在里面加上谱方法的，由于惰性后来不了了之。我仅就我所了解的知识来大概说几句吧！，大家一起探讨一下。

谱方法简单地说，一般是用高次多项式或有理函数去做整体逼近，它的求解区域一般要求正规，譬如一维情形的线段、半直线和直线；二维情形的正方形和三角形以及规则区域的外部；高维情形一般仅限于讨论张量基区域。值得指出的是，关于二维三角形上的谱方法是2000年后才出现，特别见Guo benyu， Shen jie, Wang lilian, Li huiyuan等人近年的几篇文章。关于一般四边形上的谱方法最近的文章可见2009年Math. Comp.上Guo benyu 的一篇文章。

我们所说的谱方法主要分为：谱方法、拟谱方法和谱配点法。
其中谱方法细分又有 Galerkin 法和 Petrov Galerkin 方法.
谱方法的收敛性分析一般是利用各种各样的投影，譬如Legendre投影、Chebyshev投影等等. 谱方法一般要求整体上满足微分方程的变分形式，与有限元法有点类似.
而拟谱和谱配点法的收敛性分析依赖于各种各样的高阶插值以及求积公式，譬如Gauss-Legendre插值, 更一般的Gauss-Jacobi插值等等。配点法一般仅要求在某些点上满足微分方程，它多用于解决非线性问题.

谱元法---即Spectral element method, 简单地理解就是把整个求解区域做分解，分解成很多小单元，然后再每个小单元上用谱方法去做多项式逼近或有理函数逼近，当然这里面涉及到单元之间的拼接，是否保证连续等等.

hp方法即通常说的hp型有限元方法，我们知道有限元方法分为三大类h-version, p-version and hp-version, 其中h-version是靠改变单元的尺寸达到想要的收敛程度， p-version保持有限元网格不变，通过提高每个单元上的多项式次数来提高精度； hp-version 则保持网格尺寸和多项式次数同时改变，它对于奇性问题都可以得到很高的指数型收敛. h-version是60年代开始的，也是最传统的有限元法，已经很完善；而p and hp-version是80年代以Babuska为首发展起来的，很多理论问题还有待解决.

先说到这里吧，很乱