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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 【求助】矩阵方程
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limengiiii

银虫 (小有名气)

[交流] 【求助】矩阵方程

已知x为n维的向量，A,C均为n*n的方阵，试问当A,C满足什么条件的时候以下式子成立：x'[x'(A+A'+C'C)]x-x'(Cxx'C+C'xx'C')X<0.想了好几天还是没得出好结果，恳请大家来帮帮忙！
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1楼 2009-10-11 09:28:20
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bluesine

至尊木虫 (职业作家)

科苑小木虫
★ ★
haixing2008(金币+2,VIP+0):多谢交流，圣诞快乐！ 12-25 08:38
引用回帖:
Originally posted by limengiiii at 2009-10-11 09:28:
已知x为n维的向量，A,C均为n*n的方阵，试问当A,C满足什么条件的时候以下式子成立：x'[x'(A+A'+C'C)]x-x'(Cxx'C+C'xx'C')X<0.想了好几天还是没得出好结果，恳请大家来帮帮忙！

检查一下，你的不等式左边第一部分是不是有问题？x'[x'(   
是不是多了一个x'，在你这种情况下第一部分仍然是个向量，而第二部分是个数。从不等式要求看应该是多了个x'，请楼主核实一下
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板凳要做十年冷文章不发一个字
2楼2009-12-24 16:55:33
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jfili

金虫 (正式写手)
★ ★
haixing2008(金币+2,VIP+0):多谢交流，圣诞快乐！ 12-25 08:38
楼上说的对，此题目不可解的地方还有：
这里的x是固定的向量吗？如果不是，当x=0时，不等式不成立，所以需要说出此不等式成立的定义域，才可能求出A，C满足的条件（或者是x不等于0）；如果是，那么A，C中有好多未知数，却只有一个不等式，那满足的条件可就太宽了……
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3楼2009-12-24 18:38:44
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bluesine

至尊木虫 (职业作家)

科苑小木虫
★ ★
haixing2008(金币+2,VIP+0):多谢热心解答！ 12-27 16:38
引用回帖:
Originally posted by jfili at 2009-12-24 18:38:
楼上说的对，此题目不可解的地方还有：
这里的x是固定的向量吗？如果不是，当x=0时，不等式不成立，所以需要说出此不等式成立的定义域，才可能求出A，C满足的条件（或者是x不等于0）；如果是，那么A，C中有好多未 ...

个人感觉：x应该是任意非0向量，充要条件很困难得出来，但是要得到一个充分条件还是有办法的，呵呵，比如C对称的话，那么后面的可以消掉，或者你取xx'=I，就可以得到一个关于A和C的式子。
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板凳要做十年冷文章不发一个字
4楼2009-12-25 11:34:39
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limengiiii

银虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by bluesine at 2009-12-24 16:55:



检查一下，你的不等式左边第一部分是不是有问题？x'[x'(   
是不是多了一个x'，在你这种情况下第一部分仍然是个向量，而第二部分是个数。从不等式要求看应该是多了个x'，请楼主核实一下

不好意思，的确是当时编辑有问题，应该是x'[x'(A+A'+C'C)x]x-x'(Cxx'C+C'xx'C')X<0，这样就相当是两个数相减，我考虑了很长时间只是得到了一个用特征值的关系去约束这个式子的充分条件，还恳请前辈多多指点
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5楼2009-12-27 15:52:52
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limengiiii

银虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by jfili at 2009-12-24 18:38:
楼上说的对，此题目不可解的地方还有：
这里的x是固定的向量吗？如果不是，当x=0时，不等式不成立，所以需要说出此不等式成立的定义域，才可能求出A，C满足的条件（或者是x不等于0）；如果是，那么A，C中有好多未 ...

大侠提的这个问题是正确的，这里的条件应该写成x为非零的n维向量！谢谢交流啊
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6楼2009-12-27 15:55:40
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