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lxmmissing

金虫 (正式写手)

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[交流] 【求助】矩阵知识求助

求助以下的证明，
“任一方阵可表示为可逆阵与幂等阵（平方等于自身）之积“
非常感些！

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爱拼才会赢！

1楼 2009-10-07 11:12:15

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

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木虫 (正式写手)

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性别: GG
专业: 组合数学

转帖（我看到的证明）

★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
lxmmissing(金币+1,VIP+0):谢谢！ 10-9 14:54

我看到一个证明，认为是正确的。

在我们选取一组标准正交基e1,e2,...en之后
设V中任意一个线性变换,他在这组基下对应的度量矩阵是A.
则原命题等价于证A=TB
其中B^2=B,T是一个可逆矩阵.
我们知道任意一个矩阵A,设他的秩是r,存在可逆的矩阵P,Q
使得PAQ=E(r) 平常不这么表示,因为是n阶方阵,我这里写不出来.我用E(r)表示对角矩阵对角线上是1,1,1...,1 r个1然后是0,0,,0 n-r个0的这样一个n阶方阵.
则A=P^(-1)E(r)Q^(-1)=P^(-1)Q^(-1)QE(r)Q^(-1)
其中T=P^(-1)Q^(-1)是可逆方阵，B=QE(r)Q^(-1)是一个满足条件的矩阵
于是，原命题得证.