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[交流] 【求助】螺旋曲线的标准方程式是什么

大家好！请问螺旋曲线的标准方程式是什么，谢谢啊！

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1楼 2009-09-20 13:07:07

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liubing041

荣誉版主 (文坛精英)

忽忽家族之傻忽忽

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wuguocheng(金币+3,VIP+0): 感谢解答,以后常来,本版块需要高手常参与 9-21 10:58
dongli-yan(金币+5,VIP+0): 9-21 16:59

x^2+y^2=r^2;
z=k·[2π+arctan(y/x)];

其中r为螺旋半径;
k·2π是每旋转一周在z轴上上升的距离;
则k,r均为常数.

//
先找到极坐标方程形式:
r=r0+k·θ
k和r0为常数.k为曲率;ro为初始的半径.
则θ=(r-r0)/k;
则cosθ=cos[(r-r0)/k];
r·cosθ=r·cos[(r-r0)/k].①

设(x0,y0)为螺旋的初始点,(a,b)为中心圆的圆心,则(x0-a)^2+(y0-b)^2=r0^2.
螺旋线上一点(x,y)到(a,b)距离为r.于是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.
而x-a=r·cosθ;y-b=r·sinθ.
∴代入式①得:
x-a=√[(x-a)^2+(y-b)^2]·cos[(√[(x-a)^2+(y-b)^2] -r0)/k].

则x=a+√[(x-a)^2+(y-b)^2]·cos[(√[(x-a)^2+(y-b)^2] -r0)/k]
就是以中心在(a,b),半径为r0的圆为初始圆的等距螺旋线的方程.
或者写成:
y=b+√[(x-a)^2+(y-b)^2]·sin[(√[(x-a)^2+(y-b)^2] -r0)/k].