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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 理论物理&天文 » 【求助】狄拉克右矢与线性算符求指引
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ltxvici

银虫 (著名写手)

[交流] 【求助】狄拉克右矢与线性算符求指引

化学出身。。考量子
有几个问题求达人指引。
问题一：狄拉克定义的右矢为Hibert空间中的矢量，目前我只能这么理解，其方向我们用来表达力学系统的态，Hibert空间的知识我很无知，确实没接触过，一同学让我不要深究，单纯的理解成一线性空间，那么求达人指点，这个线性空间怎么理解？
问题二：矢量的运算法则
狄拉克自己的书中说右矢与左矢是两个空间，是性质不同的两个量，不考虑物理意义，如两共轭虚量，也就是一右矢量与相应共轭的左矢量，因为性质不同，所以不能相加，所以不能想常规的可区分实虚部的复量那样相加而得到实部，也就是左右矢都是无法却分实虚部的复量，那么既然性质不同不能相加的法则，那么怎么又能相乘得到一标量积？还有两无法区分实虚部的复量相乘怎么就得到一数？
还有这个标量积是一数，该怎么理解，单纯理解成数还是带方向的意义。。。
问题三：线性算符的运算法则
线性算符为可区分实虚部的复量，乘以不可区分实虚部的矢量怎么会得到还是不可区分实虚部的复量？
以上运算法则怎么算的，是狄拉克自己定义的数学逻辑还是确实有一套数学运算？
大家见谅，我学化学的，对量子实在是有太多疑问，希望能得到大家的解答，我很无知，大家见谅。
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8月，真的要近了···什么都要换了，连名字都要换了。。
1楼2009-08-11 22:01:14
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mozhui

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
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GrasaVampiro(金币+10,VIP+0):3x 8-29 19:00
因此，尽管三角函数系是l2空间在自变量有界的情形下的完备基，但这里的“完备”仅意味着原函数和展开级数的在l2范数意义下的等价性，而在具体自变量的某个值处，可能会差异巨大（这直接影响在该点几率结果的计算），而处处收敛或一致收敛的要求则要强的多。
所以，我的意思是，尽管l2中的完备基可以在平均收敛的意义下逼近其中的任意函数，但是如果提高要求，比如不仅要求收敛是平均的，还要是处处的（这在量子力学中是有意义的，比如，用展开级数近似计算空间某些点或某个区域内粒子出现的概率时），那么就需要删除l2中相当多的函数，我所感兴趣的是剩下的函数应该满足什么样的条件？
赞一下(11人) 回复此楼
22楼2009-08-30 01:36:25
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msphy

木虫 (小有名气)
★ ★ ★ ★
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musi429(金币+3,VIP+0):多谢你的答复~ 8-12 01:03
个人愚见：
问题1：
Hilber Space 是一个可以同时定义范数（通俗理解为广义距离），内积，和伴随空间的特殊代数空间。所以数学上明确的说应该叫“线性赋范内积空间”。并不是所有的线性空间都可以同时定义范数，内积，伴随空间的。所以这个空间是如此的特殊。所以他也展现出了很多独特的性质。

问题2：
内积空间与伴随空间是不同的。但同时定义了内积和伴随空间的Hilber Space确实可以在一定程度上将内积等同与伴随空间中的两个基矢量的乘积。

具体的一些问题，我也不是十分明白，需要请教数学老师。
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Cogito, ergosum
2楼2009-08-11 23:25:35
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田山东

捐助贵宾 (著名写手)
建议看下喀兴林高等量子，第一章看完了就知道的差不多了，不会要你太久时间
赞一下 回复此楼
everythinghasitsseason.enjoyyourlife.
3楼2009-08-12 07:52:31
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lxd_bruce

木虫 (正式写手)
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GrasaVampiro(金币+20,VIP+0):3x 8-12 17:48
GrasaVampiro(金币+0,VIP+0):"复共轭保范同构"我明白，但我想楼主肯定更不明白了，简要的解释一下吧 8-12 17:50
以上运算法则怎么算的，是狄拉克自己定义的数学逻辑还是确实有一套数学运算？

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量子力学发展之初，它的数学理论内核（主要是线性泛函分析）还刚刚开始萌芽，也就是说，当时没有严格的、容易理解的数学结构可以让人理解量子力学，说白了，你当时学量子力学的话，不可能像学过微积分之后再学牛顿力学有种融会贯通的感觉。很多牛人都用哲学来解释量子力学，如海森堡。
在这种情况下，还是有少数物理很牛、数学也很牛的大师用些相对容易让人理解的形式逻辑来解释量子力学的，比如狄拉克的《量子力学原理》（这套形式逻辑是他自创的。其实也不是非常易懂，毕竟线性泛函分析刚开始发展，狄拉克即使再牛，也不是专门搞数学的，虽说他是数学硕士，但也不可能一个人就把泛函分析发展起来，只能用他理解的、甚至猜测的那部分不严格的形式逻辑来解释）。
其实狄拉克的这套形式逻辑就是后来的线性泛函分析的理论的部分原型。
现在线性泛函分析已经发展完备，足以解释量子力学的数学内核。
所以你只要找本线性泛函分析的教材，把 Hibert 空间的那部分理论搞明白基本就可以了。

不过，狄拉克的那套术语是自创的，和线性泛函分析的标准术语是不同的。

某些对应如下：
右矢——Hibert空间中的矢量（按集合论的讲法，就是Hilbert空间中的“元素”）
左矢——Hibert空间上的共轭空间（其实也是Hilbert 空间，是前者的所有连续线性泛函构成的线性空间，和前者是复共轭保范同构的）中的矢量

[ Last edited by lxd_bruce on 2009-8-12 at 10:53 ]
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4楼2009-08-12 10:35:56
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