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ltxvici银虫 (著名写手)
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【求助】狄拉克右矢与线性算符求指引
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化学出身。。考量子 有几个问题求达人指引。 问题一：狄拉克定义的右矢为Hibert空间中的矢量，目前我只能这么理解，其方向我们用来表达力学系统的态，Hibert空间的知识我很无知，确实没接触过，一同学让我不要深究，单纯的理解成一线性空间，那么求达人指点，这个线性空间怎么理解？ 问题二：矢量的运算法则 狄拉克自己的书中说右矢与左矢是两个空间，是性质不同的两个量，不考虑物理意义，如两共轭虚量，也就是一右矢量与相应共轭的左矢量，因为性质不同，所以不能相加，所以不能想常规的可区分实虚部的复量那样相加而得到实部，也就是左右矢都是无法却分实虚部的复量，那么既然性质不同不能相加的法则，那么怎么又能相乘得到一标量积？还有两无法区分实虚部的复量相乘怎么就得到一数？ 还有这个标量积是一数，该怎么理解，单纯理解成数还是带方向的意义。。。 问题三：线性算符的运算法则 线性算符为可区分实虚部的复量，乘以不可区分实虚部的矢量怎么会得到还是不可区分实虚部的复量？ 以上运算法则怎么算的，是狄拉克自己定义的数学逻辑还是确实有一套数学运算？ 大家见谅，我学化学的，对量子实在是有太多疑问，希望能得到大家的解答，我很无知，大家见谅。 |
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个人愚见： 问题1： Hilber Space 是一个可以同时定义范数（通俗理解为广义距离），内积，和伴随空间的特殊代数空间。所以数学上明确的说应该叫“线性赋范内积空间”。并不是所有的线性空间都可以同时定义范数，内积，伴随空间的。所以这个空间是如此的特殊。所以他也展现出了很多独特的性质。 问题2： 内积空间与伴随空间是不同的。但同时定义了内积和伴随空间的Hilber Space确实可以在一定程度上将内积等同与伴随空间中的两个基矢量的乘积。 具体的一些问题，我也不是十分明白，需要请教数学老师。 |
2楼2009-08-11 23:25:35
3楼2009-08-12 07:52:31
lxd_bruce
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以上运算法则怎么算的，是狄拉克自己定义的数学逻辑还是确实有一套数学运算？ ================================================= 量子力学发展之初，它的数学理论内核（主要是线性泛函分析）还刚刚开始萌芽，也就是说，当时没有严格的、容易理解的数学结构可以让人理解量子力学，说白了，你当时学量子力学的话，不可能像学过微积分之后再学牛顿力学有种融会贯通的感觉。很多牛人都用哲学来解释量子力学，如海森堡。 在这种情况下，还是有少数物理很牛、数学也很牛的大师用些相对容易让人理解的形式逻辑来解释量子力学的，比如狄拉克的《量子力学原理》（这套形式逻辑是他自创的。其实也不是非常易懂，毕竟线性泛函分析刚开始发展，狄拉克即使再牛，也不是专门搞数学的，虽说他是数学硕士，但也不可能一个人就把泛函分析发展起来，只能用他理解的、甚至猜测的那部分不严格的形式逻辑来解释）。 其实狄拉克的这套形式逻辑就是后来的线性泛函分析的理论的部分原型。 现在线性泛函分析已经发展完备，足以解释量子力学的数学内核。 所以你只要找本线性泛函分析的教材，把 Hibert 空间的那部分理论搞明白基本就可以了。 不过，狄拉克的那套术语是自创的，和线性泛函分析的标准术语是不同的。 某些对应如下： 右矢——Hibert空间中的矢量（按集合论的讲法，就是Hilbert空间中的“元素”） 左矢——Hibert空间上的共轭空间（其实也是Hilbert 空间，是前者的所有连续线性泛函构成的线性空间，和前者是复共轭保范同构的）中的矢量 [ Last edited by lxd_bruce on 2009-8-12 at 10:53 ] |
4楼2009-08-12 10:35:56
lxd_bruce
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问题1： Hilber Space 是一个可以同时定义范数（通俗理解为广义距离），内积，和伴随空间的特殊代数空间。所以数学上明确的说应该叫“线性赋范内积空间”。并不是所有的线性空间都可以同时定义范数，内积，伴随空间的。所以这个空间是如此的特殊。所以他也展现出了很多独特的性质。 =========================================== Hilbert空间是完备的内积空间，内积空间本身就是特殊的赋范空间。 完备性保证了Hilbert空间的元素的任何线性组合的极限都仍是Hilbert空间中的元素。 问题2： 内积空间与伴随空间是不同的。但同时定义了内积和伴随空间的Hilber Space确实可以在一定程度上将内积等同与伴随空间中的两个基矢量的乘积。 ======================================== Hilbert空间和它的伴随空间（也叫共轭空间）其实是差不多的，维数一样，虽然不是保范同构，却是复共轭保范同构的。 Hilbert空间中的元素和它的共轭空间中的元素天然就有个运算能得到一个标量的。因为后者是前者的线性泛函。 因为是复共轭保范同构，所以这个运算也可以看成是原来那个Hilbert空间中的内积。 [ Last edited by lxd_bruce on 2009-8-12 at 10:57 ] |
5楼2009-08-12 10:50:47
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复共轭保范同构： 如果两个Hilbert空间H和H'，存在一个保范复共轭线性同构p: H ——> H'，那么称H和H'是复共轭保范同构的。 共轭线性映射： 两个Hilbert空间H和H'，如果存在一个线性映射p: H ——> H' ，使所有复数域上的任何两个元素a,b以及H中的任何两个元素x,y，满足p(ax+by)=a*x+b*y，其中a*和b*表示复数a和b的共轭。这样的映射p就叫（复）共轭线性的。 如果这个映射还是双射，那么就叫（复）共轭线性同构。 如果这个映射既是双射，还保持内积不变，那么就叫保范（复）共轭线性同构。 PS：线性空间中的双射或者复共轭双射只是代数性质，而保范是拓扑性质（因为内积是范数的一种，范数就和拓扑相关），没有蕴含关系。 |
8楼2009-08-13 10:13:00
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lxd_bruce
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