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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】指数函数根与系数关系
北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告
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twister

超级版主

优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！
★
molshibi(金币+1):谢谢参与
帮顶~~
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无怨无悔我走我路，走不尽天涯路。Iwilltakemyendlessroadforwardwithoutregrettingandresenting.
11楼2009-08-12 08:48:12
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molshibi

超级版主

优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！
jfili
从指数函数变成了幂函数后，还不是很复杂啊，又该如何考虑呢
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12楼2009-08-12 08:59:11
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jfili

专家顾问

优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
molshibi(金币+8,VIP+0):谢谢啦，金币都给你，有机会再向你讨教哦 8-12 10:42
我在九楼说的，应该改一下，把n改成n-1
我说思路啊，具体的你自己去想
f_n(x)=a1x^{b1}+a2x^{b2}+....+anx^{bn}在(0,1)有n-1个根，bi非负

f_2(x)=a1x^{b1}+a2x^{b2}在(0,1)上有1个根，bi非负
而f_2(x)=(a1+a2x^{b2-b1})x^{b1}在(0,1)上有1个根，且只有一个根，一个必要的条件就是a1不等于零，a2和a1符号相反，b2-b1>1

........

所以猜测，f_n(x)如果在(0,1)上有n个根，则只可能有n个根，必要的条件是:
b1,b2,...,bn互不相等，且如果假设他们按从小到大的顺序排列
则有，a1不等于零，a_i 和a_{i+1}符号相反，b_{i+1}-b_i>1。

当然了，这个只是一个必要的条件，离充分必要条件还有距离。
f(x)在(0,1)上有n个根，f'(x)在(0,1)上有n-1个根（不妨设为x1,x2,....,x_{n-1}），则等价于f(0)，f(x1),f(x2),...,f(x_{n-1},f(1)这n+1个值，相邻的两个是异号的。

n=2时很容易求得（因为根都可以显式的写出来），n=3时也容易得到（因为f'(x)的根可以显式的表达出来），
n=4就是你后来提的那个问题，必要的条件是f'(x)在(0,1)上有2个实根（这个是你开始的那个问题）。

所以你想做任意n的情形，就必要从2,3,4,.....，一个个做下去，先找一个规律，再来证明。
这个确实比较难。呵呵
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13楼2009-08-12 10:09:39
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