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twister

铁虫 (著名写手)


molshibi(金币+1):谢谢参与
帮顶~~
无怨无悔我走我路,走不尽天涯路。Iwilltakemyendlessroadforwardwithoutregrettingandresenting.
11楼2009-08-12 08:48:12
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molshibi

铜虫 (小有名气)

jfili
从指数函数变成了幂函数后,还不是很复杂啊,又该如何考虑呢
12楼2009-08-12 08:59:11
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jfili

金虫 (正式写手)

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
molshibi(金币+8,VIP+0):谢谢啦,金币都给你,有机会再向你讨教哦 8-12 10:42
我在九楼说的,应该改一下,把n改成n-1
我说思路啊,具体的你自己去想
f_n(x)=a1x^{b1}+a2x^{b2}+....+anx^{bn}在(0,1)有n-1个根,bi非负

f_2(x)=a1x^{b1}+a2x^{b2}在(0,1)上有1个根,bi非负
而f_2(x)=(a1+a2x^{b2-b1})x^{b1}在(0,1)上有1个根,且只有一个根,一个必要的条件就是a1不等于零,a2和a1符号相反,b2-b1>1

........

所以猜测,f_n(x)如果在(0,1)上有n个根,则只可能有n个根,必要的条件是:
b1,b2,...,bn互不相等,且如果假设他们按从小到大的顺序排列
则有,a1不等于零,a_i 和a_{i+1}符号相反,b_{i+1}-b_i>1。

当然了,这个只是一个必要的条件,离充分必要条件还有距离。
f(x)在(0,1)上有n个根,f'(x)在(0,1)上有n-1个根(不妨设为x1,x2,....,x_{n-1}),则等价于f(0),f(x1),f(x2),...,f(x_{n-1},f(1)这n+1个值,相邻的两个是异号的。

n=2时很容易求得(因为根都可以显式的写出来),n=3时也容易得到(因为f'(x)的根可以显式的表达出来),
n=4就是你后来提的那个问题,必要的条件是f'(x)在(0,1)上有2个实根(这个是你开始的那个问题)。

所以你想做任意n的情形,就必要从2,3,4,.....,一个个做下去,先找一个规律,再来证明。
这个确实比较难。呵呵
13楼2009-08-12 10:09:39
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