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【求助】指数函数根与系数关系
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方程a*x+b1*xe^(c1*x^2)-b2*xe^(c2*x^2)=0 问，系数a,b1,c1,b2,c2满足什么样的关系时方程有5个不同的实根啊，式中c1,c2取负数 |
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jfili
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molshibi(金币+8,VIP+0):谢谢啦，金币都给你，有机会再向你讨教哦 8-12 10:42
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我在九楼说的，应该改一下，把n改成n-1 我说思路啊，具体的你自己去想 f_n(x)=a1x^{b1}+a2x^{b2}+....+anx^{bn}在(0,1)有n-1个根，bi非负 f_2(x)=a1x^{b1}+a2x^{b2}在(0,1)上有1个根，bi非负 而f_2(x)=(a1+a2x^{b2-b1})x^{b1}在(0,1)上有1个根，且只有一个根，一个必要的条件就是a1不等于零，a2和a1符号相反，b2-b1>1 ........ 所以猜测，f_n(x)如果在(0,1)上有n个根，则只可能有n个根，必要的条件是: b1,b2,...,bn互不相等，且如果假设他们按从小到大的顺序排列 则有，a1不等于零，a_i 和a_{i+1}符号相反，b_{i+1}-b_i>1。 当然了，这个只是一个必要的条件，离充分必要条件还有距离。 f(x)在(0,1)上有n个根，f'(x)在(0,1)上有n-1个根（不妨设为x1,x2,....,x_{n-1}），则等价于f(0)，f(x1),f(x2),...,f(x_{n-1},f(1)这n+1个值，相邻的两个是异号的。 n=2时很容易求得（因为根都可以显式的写出来），n=3时也容易得到（因为f'(x)的根可以显式的表达出来）， n=4就是你后来提的那个问题，必要的条件是f'(x)在(0,1)上有2个实根（这个是你开始的那个问题）。 所以你想做任意n的情形，就必要从2,3,4,.....，一个个做下去，先找一个规律，再来证明。 这个确实比较难。呵呵 |
13楼2009-08-12 10:09:39
jfili
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molshibi(金币+8,VIP+0):先给8个金币，你的答案我还有点不明白，为什么只能在a小于零，b小于零，c大于1，其它的情况是怎么去掉的啊 8-8 16:18
molshibi(金币+8,VIP+0):先给8个金币，你的答案我还有点不明白，为什么只能在a小于零，b小于零，c大于1，其它的情况是怎么去掉的啊 8-8 16:18
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首先有一个根：x=0； 所以 a+b1e^(c1*x^2)-b2e^(c2*x^2)=0只需要有四个非零的根； 如果a=0，容易知道方程不可能有四个非零的不同实根； 不妨设a=1，否则只需方程两边同时除以a再讨论； 不妨设b1=-1，否则，令 y=-\sqrt{-b1}x，则易知关于y的方程有四个非零实根与关于x的方程有四个非零实根等价； 至此，只零讨论 1+ae^{-x}+be^{-cx}=0有四个非零实根即可； 令z=e^{-x}，所以只需要 1+az-bz^c=0 有两个大于零且小于1的不同实根(根据你给的条件，这里的c大于零)； 最后作两个图 y=az+1和y=bz^c，两个图在(0,1)间有两个交点，只能在a小于零，b小于零，c大于1，并且还有，把a看作是变化的，直线和第二个图相切的切点应该位于(0,1)之间，这时的a记为a0，直线与第二个图的交点的横坐标在x=1，这时的a记为a1，则当a介于a0和a1之间时在(0,1)间有两个不同的交点。 最后将这里得到的a,b,c的关系化到你开始的a,b1,b2,c1,c2(这里的两个a表示的意义不同) 说明：\sqrt{a}表示二次根下a [ Last edited by jfili on 2009-8-8 at 15:08 ] |
2楼2009-08-08 15:02:19
3楼2009-08-08 16:16:09
jfili
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点点风(金币+3,VIP+0):感谢参与讨论，暑假都没有休息啊，辛苦了！等我统计后，给你申请VIP奖励 8-10 12:34
molshibi(金币+5,VIP+0):真是高手啊，谢谢啦啊，但不知a*x+b1*xe^(c1*x^2)-b2*xe^(c2*x^2)+b3*xe^(c3*x^2)=0有7个不同实根时，系数又满足什么样关系呢，该如何分析呢 8-11 09:19
点点风(金币+3,VIP+0):感谢参与讨论，暑假都没有休息啊，辛苦了！等我统计后，给你申请VIP奖励 8-10 12:34
molshibi(金币+5,VIP+0):真是高手啊，谢谢啦啊，但不知a*x+b1*xe^(c1*x^2)-b2*xe^(c2*x^2)+b3*xe^(c3*x^2)=0有7个不同实根时，系数又满足什么样关系呢，该如何分析呢 8-11 09:19
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设f(x)=ax+1-bx^c,则f'(x)=a-bcx^{c-1}，f''(x)=bc(c-1)x^{c-2} 如果f在(0,1)之间有两个解，则必有 f'在(0,1)之间有一个零点，且f'(0)=0（得到a<0），f'(1)>0（得到b<0）， 由f''可知，f必为凸函数或凹函数，由上面的分析可知，f为下凸函数，则f'在正无穷点也应为正无穷（所以c>1）。 |
4楼2009-08-10 11:50:08
