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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【求助】指数函数根与系数关系
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molshibi

铜虫 (小有名气)

[交流] 【求助】指数函数根与系数关系

方程a*x+b1*xe^(c1*x^2)-b2*xe^(c2*x^2)=0
问，系数a,b1,c1,b2,c2满足什么样的关系时方程有5个不同的实根啊，式中c1,c2取负数
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1楼2009-08-08 09:54:47
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jfili

金虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
molshibi(金币+8,VIP+0):先给8个金币，你的答案我还有点不明白，为什么只能在a小于零，b小于零，c大于1，其它的情况是怎么去掉的啊 8-8 16:18
首先有一个根：x=0；
所以 a+b1e^(c1*x^2)-b2e^(c2*x^2)=0只需要有四个非零的根；
如果a=0，容易知道方程不可能有四个非零的不同实根；
不妨设a=1，否则只需方程两边同时除以a再讨论；
不妨设b1=-1，否则，令 y=-\sqrt{-b1}x，则易知关于y的方程有四个非零实根与关于x的方程有四个非零实根等价；
至此，只零讨论 1+ae^{-x}+be^{-cx}=0有四个非零实根即可；
令z=e^{-x}，所以只需要 1+az-bz^c=0 有两个大于零且小于1的不同实根(根据你给的条件，这里的c大于零)；
最后作两个图 y=az+1和y=bz^c，两个图在(0,1)间有两个交点，只能在a小于零，b小于零，c大于1，并且还有，把a看作是变化的，直线和第二个图相切的切点应该位于(0,1)之间，这时的a记为a0，直线与第二个图的交点的横坐标在x=1，这时的a记为a1，则当a介于a0和a1之间时在(0,1)间有两个不同的交点。
最后将这里得到的a,b,c的关系化到你开始的a,b1,b2,c1,c2(这里的两个a表示的意义不同)





说明：\sqrt{a}表示二次根下a

[ Last edited by jfili on 2009-8-8 at 15:08 ]
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2楼2009-08-08 15:02:19
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molshibi

铜虫 (小有名气)
为什么只能在a小于零，b小于零，c大于1，其它的情况是怎么去掉的啊
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3楼2009-08-08 16:16:09
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jfili

金虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
点点风(金币+3,VIP+0):感谢参与讨论，暑假都没有休息啊，辛苦了！等我统计后，给你申请VIP奖励 8-10 12:34
molshibi(金币+5,VIP+0):真是高手啊，谢谢啦啊，但不知a*x+b1*xe^(c1*x^2)-b2*xe^(c2*x^2)+b3*xe^(c3*x^2)=0有7个不同实根时，系数又满足什么样关系呢，该如何分析呢 8-11 09:19
设f(x)=ax+1-bx^c,则f'(x)=a-bcx^{c-1}，f''(x)=bc(c-1)x^{c-2}
如果f在(0,1)之间有两个解，则必有
f'在(0,1)之间有一个零点，且f'(0)=0（得到a<0），f'(1)>0（得到b<0），
由f''可知，f必为凸函数或凹函数，由上面的分析可知，f为下凸函数，则f'在正无穷点也应为正无穷（所以c>1）。
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4楼2009-08-10 11:50:08
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molshibi

铜虫 (小有名气)
但不知 a*x+b1*xe^(c1*x^2)-b2*xe^(c2*x^2)+b3*xe^(c3*x^2)=0有7个不同实根时，系数又该满足什么样的关系呢，该如何分析呢，高手能再讲解下吗，谢谢
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5楼2009-08-11 09:21:36
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zhyvonne262525

木虫 (著名写手)
★
molshibi(金币+1):谢谢参与
jfili
讲得很细了哈

楼主你考虑的时候，先看从什么地方入手吧

是不是可以考虑求导的形式入手
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6楼2009-08-11 11:53:13
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mtzhxm

银虫 (小有名气)
★
molshibi(金币+1):谢谢参与
仔细在看看就明白了
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7楼2009-08-11 15:20:29
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wangwei8857

木虫 (职业作家)
★
molshibi(金币+1):谢谢参与
引用回帖:
Originally posted by jfili at 2009-8-8 15:02:
首先有一个根：x=0；
所以 a+b1e^(c1*x^2)-b2e^(c2*x^2)=0只需要有四个非零的根；
如果a=0，容易知道方程不可能有四个非零的不同实根；
不妨设a=1，否则只需方程两边同时除以a再讨论；
不妨设b1=-1，否则，令 ...

牛的！
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8楼2009-08-11 19:20:38
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jfili

金虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★
molshibi(金币+2,VIP+0):不知等价于 a1x^{b1}+a2x^{b2}+....+anx^{bn}=0 有n个实的介于(0,1)间的根应满足的条件，之后该怎么考虑呢， 8-12 08:57
molshibi(金币+2,VIP+0):要是能解决我的问题，会好好感谢哦 8-12 09:00
好吧

你想得到下面这个问题的答案吧？

求证：a1e^{-b1x^2}+a2e^{-b2x^2}+....+ane^{-bnx^2}=0 有2n个非零的不成实根时系数要满足的条件。其中 b_i 非负，i=1,2,...,n

这个问题等价于:a1e^{-b1x}+a2e^{-b2x}+....+ane^{-bnx}=0有n个实的正根应满足的条件。其中bi 非负


继续，上式等价于 a1x^{b1}+a2x^{b2}+....+anx^{bn}=0 有n个实的介于(0,1)间的根应满足的条件。其中bi非负

这个？从指数函数变成了幂函数，难度下降了吗？
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9楼2009-08-11 21:51:59
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去日留痕

至尊木虫 (文坛精英)

小小木虫虫

优秀版主
★
molshibi(金币+1):谢谢参与
晕了~~~~
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世间最珍贵的不是“得不到”和“已失去”，而是现在可把握的幸福....
10楼2009-08-12 08:17:03
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