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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 物理 » 统计、非线性&软物质 » 【求助】有限差分法误差都是多少啊
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大葱1890

铜虫 (小有名气)

[交流] 【求助】有限差分法误差都是多少啊

用有限差分法计算二阶导数时的误差是多少啊?比如(d^2 x)/(dt^2 ）假设t的步长取为h 那么误差是h的几次方项？
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1楼2009-06-06 12:53:25
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mozhui

★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
这个和具体近似方法有关吧，比如，对于一阶导数的近似，采用向前和向后差商带来的截断误差都是h的一次方，而采用中心差商带来的截断误差则为h的平方。楼主是如何计算二阶导数的？
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2楼2009-06-06 13:17:09
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大葱1890

铜虫 (小有名气)
(d^2 x)/(dt^2 )=(x_(i+1)-2x_i+x_(i-1))/h^2  其中h是时间步长，对于一阶的问题我算过了，可以用x_n+1在nh上展开级数得出，一阶向前差分的相当于把x_n+1项的h的平方项得省略，可是我用相同方法算不出来二阶的，很郁闷！
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3楼2009-06-07 15:52:17
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yzcluster

金虫 (著名写手)

小木虫扫盲人
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
如果我印象没错误差应该是O(h^{3})。其实很简单，你把f(x+h)和f(x-h)分别泰勒展开，两者做和（把步长h当作小量），你会发现所有h的单数项都被消去了，只剩下2，4，6，。。。等项。自然，误差就是h^{3}的高阶小。
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4楼2009-06-07 16:02:08
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mozhui

★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
把x(i+1)和x(i-1)都在i处泰勒展开到四次项带到你的计算公式里可以得到截断误差是h^2，有什么问题吗？
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5楼2009-06-07 16:02:19
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大葱1890

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
Originally posted by yzcluster at 2009-6-7 16:02:
如果我印象没错误差应该是O(h^{3})。其实很简单，你把f(x+h)和f(x-h)分别泰勒展开，两者做和（把步长h当作小量），你会发现所有h的单数项都被消去了，只剩下2，4，6，。。。等项。自然，误差就是h^{3}的高阶小。

我算了一下是这么做，不过好像最后是得出h的四次方的误差，O(h^{3})代表的是四次方的还是三次的我也不怎么清楚。不过还是谢谢你！
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6楼2009-06-07 16:46:18
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yzcluster

金虫 (著名写手)

小木虫扫盲人
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
"误差就是h^{3}的高阶小"，自然是指包括4阶在内以上的误差，不包括3阶项的误差。
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7楼2009-06-07 16:49:05
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mozhui

还要除以h^2…
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8楼2009-06-07 16:54:16
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yzcluster

金虫 (著名写手)

小木虫扫盲人
★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
引用回帖:
Originally posted by mozhui at 2009-6-7 16:54:
还要除以h^2…

是的
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9楼2009-06-07 16:56:11
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mozhui

★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖交流
另外一般情况下约定小写o{}表示比括号里高阶的无穷小，而大写O{}表示与括号里同阶的无穷小~

[ Last edited by mozhui on 2009-6-7 at 17:08 ]
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10楼2009-06-07 16:58:20
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