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寒竹墨轩新虫 (著名写手)
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转专业学生应该怎样学偏微分方程啊？ 已有7人参与
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转专业的数学研究生，偏微分方程方向，本科数学物理方程教材还在自学中，这边已经在讲临界点理论了，广义函数、Sobolev空间等知识更是拿来就用，真的压力很大。更郁闷的是每次看教材发现相同的知识点很不统一，比如这学期的临界点理论、二阶椭圆型方程以及现代偏微分方程（用的Evans那本书）三门课的教材都提到了Sobolev空间，但发现有些定义它们是从不同角度给出的，甚至有些还会有冲突。更细微的地方，比如有些书是在Rn中的开集讨论，有些是在Rn中的开区域里讨论，感觉作者对这种细微的差别可以随便忽略（开区域里成立的结论放在开集里就一定成立吗？），还有的书开篇就“区域这个术语和符号U专门用来表示实N维欧氏空间中的开集”，前后矛盾，感觉对初学者很不友好。还有比如定义弱导数的时候为什么局部可积的函数与具有紧支集的无穷次可微函数的乘积就默认一定可积（可能有人会说这还不简单吗？在这里请大神轻喷，我已经被各种突如其来的新知识整糊涂了），又比如说Evans书里面一个Definition: We denote by W0^k,p(U) the closure of Cc^∞(U) in W^k,p(U). 看得我一脸懵逼，好像这是多么显然似的，然后又得琢磨半天为什么Cc^∞(U)会包含于W^k,p(U)（再次请大神轻喷，考虑一下转专业学生一下子要跨越这么多东西来面对这些不熟悉的符号和概念）。诸如此类的细节的地方，甚至看到很多地方用格林公式时也想验证一下直接从数分里三维的情况推广到n维的情况是否可行……感觉很多这些细微之处作者是不会讨论的，自己如果一点一点地抠感觉时间根本不够，但不弄明白这些细微的地方又感觉不踏实，印象也不深刻。在这里想请教一下前辈们像我这种情况应该用什么样的方式看书，如何在这中间把握一个度，或者是否有些地方要调整一下思路。不知自己是否表述清楚了，但仍望大家不吝赐教 发自小木虫IOS客户端 |
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寒竹墨轩3楼2019-05-19 21:42:18
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基本都是区域的结论，因为很多问题的处理，需要涉及区域缩小等，连通还是有必要的。比如数学物理方程中重要的Harnack不等式 发自小木虫Android客户端 |
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6楼2019-07-14 20:25:05
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基础的sobolev空间的定义一般是开集上的。实际上就是一类具有特殊性质的可积函数，这个特殊性质就是弱导数的存在与可积。关于sobolev的其他性质，则需要函数定义域不但是开集，还需连通，lipschitz，或者锥性质，或者cn光滑等等。连通性可能会在一些比较基础的地方用到，但一般不提及，比如中值定理。局部可积函数与具有紧支集无穷次连续可微函数的乘机显然可积啊。格林公式对于无穷次连续可微函数容易推导，但对于sobolev空间中的函数是否成立，需要证明。利用光滑逼近证。从楼主的学习心得中，可以看出楼主很认真，细心。不要害怕时间不够用，我觉得最好把自己的问题都一一搞清楚，该证明的，自己给出证明。该完善的，自己完善。不同的定义，不同的性质之间的联系，自己标出。打好基础！才有利于以后发展！ 发自小木虫Android客户端 |
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7楼2019-07-15 15:15:52
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很多PDE的书上定理开始都是“设omega是R^n中的区域”，但我看他们的意思好像都是说开集，因为定理证明里根本就没有用到连通性，实际上定理是对开集成立的。如果不是我理解错误的话，诸如此类的含混之处还有很多。感到有些无所适从。 发自小木虫IOS客户端 |
5楼2019-06-02 19:51:51
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