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rising007

木虫 (正式写手)

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[交流] 【求助】帮我看看这个积分怎么积？

帮我看看这个积分，其中a，b，r0，Cs，Cs2，Ys，Ds均为常数

谢谢

[ Last edited by laizuliang on 2009-3-19 at 12:21 ]

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1楼 2009-03-18 16:18:16

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fspdlh

金虫 (正式写手)

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>> help erf
ERF Error function.
Y = ERF(X) is the error function for each element of X.  X must be
real. The error function is defined as:

   erf(x) = 2/sqrt(pi) * integral from 0 to x of exp(-t^2) dt.

下面是我用计算机算的，你看看我写的式子和你写的一样吗，要是不一样你就写成这种形式，用计算机算就方便了，看上去很复杂啊，如果是实际应用，建议采用数值计算，这么复杂的式子你也不可能代进数去算吧，呵呵
>> a=sym('a')

a =

a

>> b=sym('b')

b =

b

>> fun=sym('4*pi*(r0-x)^2*(cs+(cs2-cs)*erf(x/2/sqrt(Ds*l))/erf(Ys/2/sqrt(Ds)))*r0/(r0-x)')

fun =

4*pi*(r0-x)^2*(cs+(cs2-cs)*erf(x/2/sqrt(Ds*l))/erf(Ys/2/sqrt(Ds)))*r0/(r0-x)

>> y=int(fun,a,b)

y =

2*pi^(1/2)*r0*(2*exp(1/4*a^2/Ds/l)*cs2*erf(1/2*b/(Ds*l)^(1/2))*r0*b*pi^(1/2)*exp(1/4*b^2/Ds/l)-exp(1/4*a^2/Ds/l)*cs2*erf(1/2*b/(Ds*l)^(1/2))*b^2*pi^(1/2)*exp(1/4*b^2/Ds/l)+4*exp(1/4*a^2/Ds/l)*cs2*(Ds*l)^(1/2)*r0-2*exp(1/4*a^2/Ds/l)*cs2*(Ds*l)^(1/2)*b+2*exp(1/4*a^2/Ds/l)*cs2*Ds*l*pi^(1/2)*erf(1/2*b/(Ds*l)^(1/2))*exp(1/4*b^2/Ds/l)-2*exp(1/4*a^2/Ds/l)*cs*erf(1/2*b/(Ds*l)^(1/2))*r0*b*pi^(1/2)*exp(1/4*b^2/Ds/l)+exp(1/4*a^2/Ds/l)*cs*erf(1/2*b/(Ds*l)^(1/2))*b^2*pi^(1/2)*exp(1/4*b^2/Ds/l)-4*exp(1/4*a^2/Ds/l)*cs*(Ds*l)^(1/2)*r0+2*exp(1/4*a^2/Ds/l)*cs*(Ds*l)^(1/2)*b-2*exp(1/4*a^2/Ds/l)*cs*Ds*l*pi^(1/2)*erf(1/2*b/(Ds*l)^(1/2))*exp(1/4*b^2/Ds/l)+2*exp(1/4*a^2/Ds/l)*cs*b*erf(1/2*Ys/Ds^(1/2))*pi^(1/2)*exp(1/4*b^2/Ds/l)*r0-exp(1/4*a^2/Ds/l)*cs*b^2*erf(1/2*Ys/Ds^(1/2))*pi^(1/2)*exp(1/4*b^2/Ds/l)-2*exp(1/4*b^2/Ds/l)*cs2*erf(1/2*a/(Ds*l)^(1/2))*r0*a*pi^(1/2)*exp(1/4*a^2/Ds/l)+exp(1/4*b^2/Ds/l)*cs2*erf(1/2*a/(Ds*l)^(1/2))*a^2*pi^(1/2)*exp(1/4*a^2/Ds/l)-4*exp(1/4*b^2/Ds/l)*cs2*(Ds*l)^(1/2)*r0+2*exp(1/4*b^2/Ds/l)*cs2*(Ds*l)^(1/2)*a-2*exp(1/4*b^2/Ds/l)*cs2*Ds*l*pi^(1/2)*erf(1/2*a/(Ds*l)^(1/2))*exp(1/4*a^2/Ds/l)+2*exp(1/4*b^2/Ds/l)*cs*erf(1/2*a/(Ds*l)^(1/2))*r0*a*pi^(1/2)*exp(1/4*a^2/Ds/l)-exp(1/4*b^2/Ds/l)*cs*erf(1/2*a/(Ds*l)^(1/2))*a^2*pi^(1/2)*exp(1/4*a^2/Ds/l)+4*exp(1/4*b^2/Ds/l)*cs*(Ds*l)^(1/2)*r0-2*exp(1/4*b^2/Ds/l)*cs*(Ds*l)^(1/2)*a+2*exp(1/4*b^2/Ds/l)*cs*Ds*l*pi^(1/2)*erf(1/2*a/(Ds*l)^(1/2))*exp(1/4*a^2/Ds/l)-2*exp(1/4*b^2/Ds/l)*cs*a*erf(1/2*Ys/Ds^(1/2))*pi^(1/2)*exp(1/4*a^2/Ds/l)*r0+exp(1/4*b^2/Ds/l)*cs*a^2*erf(1/2*Ys/Ds^(1/2))*pi^(1/2)*exp(1/4*a^2/Ds/l))/erf(1/2*Ys/Ds^(1/2))/exp(1/4*b^2/Ds/l)/exp(1/4*a^2/Ds/l)

>> simplify(y)

ans =

-2*pi^(1/2)*r0*(-2*exp(1/4*(a^2+b^2)/Ds/l)*cs2*erf(1/2*b/(Ds*l)^(1/2))*r0*b*pi^(1/2)+exp(1/4*(a^2+b^2)/Ds/l)*cs2*erf(1/2*b/(Ds*l)^(1/2))*b^2*pi^(1/2)-4*exp(1/4*a^2/Ds/l)*cs2*(Ds*l)^(1/2)*r0+2*exp(1/4*a^2/Ds/l)*cs2*(Ds*l)^(1/2)*b-2*exp(1/4*(a^2+b^2)/Ds/l)*cs2*Ds*l*pi^(1/2)*erf(1/2*b/(Ds*l)^(1/2))+2*exp(1/4*(a^2+b^2)/Ds/l)*cs*erf(1/2*b/(Ds*l)^(1/2))*r0*b*pi^(1/2)-exp(1/4*(a^2+b^2)/Ds/l)*cs*erf(1/2*b/(Ds*l)^(1/2))*b^2*pi^(1/2)+4*exp(1/4*a^2/Ds/l)*cs*(Ds*l)^(1/2)*r0-2*exp(1/4*a^2/Ds/l)*cs*(Ds*l)^(1/2)*b+2*exp(1/4*(a^2+b^2)/Ds/l)*cs*Ds*l*pi^(1/2)*erf(1/2*b/(Ds*l)^(1/2))-2*exp(1/4*(a^2+b^2)/Ds/l)*cs*b*erf(1/2*Ys/Ds^(1/2))*pi^(1/2)*r0+exp(1/4*(a^2+b^2)/Ds/l)*cs*b^2*erf(1/2*Ys/Ds^(1/2))*pi^(1/2)+2*exp(1/4*(a^2+b^2)/Ds/l)*cs2*erf(1/2*a/(Ds*l)^(1/2))*r0*a*pi^(1/2)-exp(1/4*(a^2+b^2)/Ds/l)*cs2*erf(1/2*a/(Ds*l)^(1/2))*a^2*pi^(1/2)+4*exp(1/4*b^2/Ds/l)*cs2*(Ds*l)^(1/2)*r0-2*exp(1/4*b^2/Ds/l)*cs2*(Ds*l)^(1/2)*a+2*exp(1/4*(a^2+b^2)/Ds/l)*cs2*Ds*l*pi^(1/2)*erf(1/2*a/(Ds*l)^(1/2))-2*exp(1/4*(a^2+b^2)/Ds/l)*cs*erf(1/2*a/(Ds*l)^(1/2))*r0*a*pi^(1/2)+exp(1/4*(a^2+b^2)/Ds/l)*cs*erf(1/2*a/(Ds*l)^(1/2))*a^2*pi^(1/2)-4*exp(1/4*b^2/Ds/l)*cs*(Ds*l)^(1/2)*r0+2*exp(1/4*b^2/Ds/l)*cs*(Ds*l)^(1/2)*a-2*exp(1/4*(a^2+b^2)/Ds/l)*cs*Ds*l*pi^(1/2)*erf(1/2*a/(Ds*l)^(1/2))+2*exp(1/4*(a^2+b^2)/Ds/l)*cs*a*erf(1/2*Ys/Ds^(1/2))*pi^(1/2)*r0-exp(1/4*(a^2+b^2)/Ds/l)*cs*a^2*erf(1/2*Ys/Ds^(1/2))*pi^(1/2))*exp(-1/4*(a^2+b^2)/Ds/l)/erf(1/2*Ys/Ds^(1/2))

>> pretty(y)

         /          2                            2
   1/2 |          a                1/2       b
  2 pi r0 |2 exp(1/4 ----) cs2 %3 r0 b pi exp(1/4 ----)
         \       Ds l                         Ds l

                  2                            2
                  a          2 1/2       b
      - exp(1/4 ----) cs2 %3 b  pi exp(1/4 ----)
               Ds l                         Ds l

                     2                               2
                  a             1/2                a             1/2
      + 4 exp(1/4 ----) cs2 (Ds l) r0 - 2 exp(1/4 ----) cs2 (Ds l) b
                  Ds l                            Ds l

                     2                            2
                  a             1/2          b
      + 2 exp(1/4 ----) cs2 Ds l pi %3 exp(1/4 ----)
                  Ds l                         Ds l

                     2                            2
                  a                1/2       b
      - 2 exp(1/4 ----) cs %3 r0 b pi exp(1/4 ----)
                  Ds l                         Ds l

                  2                         2
                  a          2 1/2       b
      + exp(1/4 ----) cs %3 b  pi exp(1/4 ----)
               Ds l                      Ds l

                     2                               2
                  a          1/2                a          1/2
      - 4 exp(1/4 ----) cs (Ds l) r0 + 2 exp(1/4 ----) cs (Ds l) b
                  Ds l                            Ds l

                     2                            2
                  a             1/2          b
      - 2 exp(1/4 ----) cs Ds l pi %3 exp(1/4 ----)
                  Ds l                         Ds l

                     2                         2
                  a             1/2       b
      + 2 exp(1/4 ----) cs b %1 pi exp(1/4 ----) r0
                  Ds l                      Ds l

                  2                         2
                  a       2    1/2       b
      - exp(1/4 ----) cs b  %1 pi exp(1/4 ----)
               Ds l                      Ds l

                     2                            2
                  b                1/2       a
      - 2 exp(1/4 ----) cs2 %2 r0 a pi exp(1/4 ----)
                  Ds l                         Ds l

                  2                            2
                  b          2 1/2       a
      + exp(1/4 ----) cs2 %2 a  pi exp(1/4 ----)
               Ds l                         Ds l

                     2                               2
                  b             1/2                b             1/2
      - 4 exp(1/4 ----) cs2 (Ds l) r0 + 2 exp(1/4 ----) cs2 (Ds l) a
                  Ds l                            Ds l

                     2                            2
                  b             1/2          a
      - 2 exp(1/4 ----) cs2 Ds l pi %2 exp(1/4 ----)
                  Ds l                         Ds l

                     2                            2
                  b                1/2       a
      + 2 exp(1/4 ----) cs %2 r0 a pi exp(1/4 ----)
                  Ds l                         Ds l

                  2                         2
                  b          2 1/2       a
      - exp(1/4 ----) cs %2 a  pi exp(1/4 ----)
               Ds l                      Ds l

                     2                               2
                  b          1/2                b          1/2
      + 4 exp(1/4 ----) cs (Ds l) r0 - 2 exp(1/4 ----) cs (Ds l) a
                  Ds l                            Ds l

                     2                            2
                  b             1/2          a
      + 2 exp(1/4 ----) cs Ds l pi %2 exp(1/4 ----)
                  Ds l                         Ds l

                     2                         2
                  b             1/2       a
      - 2 exp(1/4 ----) cs a %1 pi exp(1/4 ----) r0
                  Ds l                      Ds l

                  2                         2  \    /          2
                  b       2    1/2       a | / |          b
      + exp(1/4 ----) cs a  %1 pi exp(1/4 ----)|  /  |%1 exp(1/4 ----)
               Ds l                      Ds l / / \          Ds l

               2  \
               a |
      exp(1/4 ----)|
            Ds l /

               Ys
  %1 := erf(1/2 -----)
               1/2
            Ds

                  a
  %2 := erf(1/2 ---------)
                  1/2
            (Ds l)

                  b
  %3 := erf(1/2 ---------)
                  1/2
            (Ds l)
>>

[ Last edited by fspdlh on 2009-3-18 at 20:41 ]

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4楼2009-03-18 20:27:56

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hongyan3278

2楼2009-03-18 16:22:58

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黄凯

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3楼2009-03-18 19:06:18

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ying7666

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我晕，原来不是初等函数。求近似吧。明白楼上的做法了。

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5楼2009-05-28 16:41:53

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