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miaoskypop

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[交流] 【分享】量子化学计算的一般性规则的验证

一、原理
  1. Hartree-Fock方法的精确性

  　　在从头计算法(ab initio)的三个近似下(非相对论近似、绝热近似和轨道近似)分子
  或原子的全电子能量包括以下几个：
  　　(1) ET：电子的动能(恒正)；
  　　(2) EN：核与核的势能，对于计算单点能，这一项能量总是不变的；
  　　(3) EV：核与电子的势能；
  　　(4) EJ：电子与电子的库仑势能；
  　　(5) EX：电子与电子的交换势能；
  　　(6) EC：电子与电子的相关能，单电子近似时不考虑这项能量。
  　　所以电子的总能量可以写成：
E = ET + EN + EV + EJ + EX + EC
  　　只要基函数足够完备，Hartree-Fock方法就可以精确计算出前5项能量，但是对于最
  后一项EC却无能为力。尽管EC在数值上相比前5项小得多，但对于计算反应热等物理性质
  ，它的误差却是不能忽视的。

  2. 密度泛函方法的精确性

  　　密度泛函方法中最基本的公式是Kohn-Sham方程：
E - EN = ET(ρ) + EV(ρ) + EJ(ρ) + EXC(ρ)
  　　虽然该方程是严格成立的，但是处理起来有很多困难，首先是ET(ρ)，它无法精确
  求得，然后是EXC(ρ)，它除了包括电子之间的交换势能和相关能以外，还包括ET(ρ)中
  的误差、EJ(ρ)中由电子自相互作用而产生的误差，等等。其中，最严重的问题是电子
  自相互作用，目前还没有很好的解决方案。EXC(ρ)计算由一系列经验公式给出，所以它
  是一种半经验的方法。

  二、验证
  1. 氢原子
  方法／基组 STO-3G 6-31G 6-311++G**
  HF -0.4665819 -0.4982329 -0.4998179
  B3LYP -0.4675326 -0.5002728 -0.5022569
  QCISD -0.4665819 -0.4982329 -0.4998179

  讨论：
  　　(1) QCISD的结果和HF的完全一致，原因是QCISD在HF的基础上计算组态相关(CI)，
  而CI对于氢原子是没有意义的。
  　　(2) B3LYP方法总是比HF方法能量低0.002Hartree左右，这是电子自相互作用矫正的
  结果，自相互作用矫正通常会使能量偏低，这在只含H的体系中非常显著。
  　　(3) HF/6-311++G**的结果更接近于实验值-0.4997278(1H原子的Rydberg常数)，仅
  仅是绝热近似误差和基组误差互相抵消的原因。
  　　(4) 用HF/AUG-cc-pV5Z计算的结果是-0.4999993，说明基组数量足够大时可以无限
  接近于理论值，绝热近似下的理论值为-0.5000000Hartree(即-1.0000000Rydberg)

  2. 氢分子离子
  方法基组键长(A) 核排斥能轨道能总能量
  HF STO-3G 1.060628 0.498928 -1.08162 -0.5826966
6-31G 1.040984 0.508343 -1.09243 -0.5840823
6-311++G** 1.049798 0.504075 -1.10526 -0.6011804
  B3LYP STO-3G 1.136192 0.465746 -0.88831 -0.5960741
6-31G 1.114180 0.474948 -0.89739 -0.5981509
6-311++G** 1.108614 0.477332 -0.90047 -0.6094954
  QCISD STO-3G 1.060628 0.498928 -1.08162 -0.5826966
6-31G 1.040984 0.508343 -1.09243 -0.5840823
6-311++G** 1.049798 0.504075 -1.10526 -0.6011804

  讨论：
  　　(1) 由于仍旧是单电子体系，所以HF和QCISD的计算结果仍旧一致；
  　　(2) 单电子体系的HF方法严格遵循"核排斥能 + 轨道能 = 总能量"；
  　　(3) DFT的自相互作用会使轨道能偏高，需要矫正，所以不符合HF的能量公式；
  　　(4) DFT的不适合做开壳层结构的优化，由于自相互作用，结构偏于松散；
  　　(5) 用HF/AUG-cc-pV5Z计算的键长为1.056884 A(实验值为1.06 A)，轨道能为-1.10
  332 Hartree，总能量为-0.6026226Hartree，换算成解离能为2.79eV(未考虑振动零点能
  )(实验值为2.97eV)。

  3. 氦原子
方法 STO-3G 6-31G 6-311++G**
  基组轨道能总能量轨道能总能量轨道能总能量
  HF -0.87604 -2.8077840 -0.91413 -2.8551604 -0.91759 -.8599839
  B3LYP -0.59997 -2.8527315 -0.64981 -2.9070489 -0.66145 -.9135435
  QCISD - - -0.91413 -2.8701622 -0.91759 -.8907057

  讨论：
  　　(1) 轨道能的2倍不等于总能量，因为轨道能不包括轨道中另一个电子对它的作用；
  　　(2) HF和QCISD的轨道能完全一致，因为QCISD首先要用HF方法计算SCF能量，轨道能
  是从SCF能量中获得的；
  　　(3) QCISD的总能量比HF低，因为它考虑了电子的相关能；
  　　(4) B3LYP的能量比HF更接近于QCISD，它也考虑了电子的相关能；
  　　(5) 用QCISD/cc-pV5Z(氦原则不能加弥散基组AUG-)计算的轨道能为-0.91792Hartre
  e (-24.98 eV，实验值为24.58 eV，即第一电离能)，总能量为-2.9031519Hartree(-79.
  00 eV，实验值为78.98eV，即第一电离能和第二电离能之和)。

  4. 氢分子
  方法基组键长(A) 轨道能总能量
  HF STO-3G 0.712230 -0.59022 -1.1175059
6-31G 0.729960 -0.59888 -1.1268278
6-311++G** 0.735396 -0.59607 -1.1325074
  B3LYP STO-3G 0.728378 -0.41852 -1.1655355
6-31G 0.742788 -0.43396 -1.1754824
6-311++G** 0.744152 -0.43392 -1.1795715
  QCISD STO-3G 0.734866 -0.58068 -1.1373061
6-31G 0.746200 -0.59394 -1.1516978
6-311++G** 0.743452 -0.59359 -1.1683761

  讨论：
  　　(1) 由于是闭壳层，B3LYP方法比HF更接近于QCISD；
  　　(2) 用QCISD/AUG-cc-pVQZ计算的键长为0.742004 A(实验值为0.74 A)，轨道能为
  -0.59426Hartree，总能量为-1.1738675Hartree，换算成解离能是4.73eV(未考虑振动零
  点能)(实验值是4.75eV)，振动频率为4399.9295cm-1(实验值为4401.2cm-1)。

  三、结论

  　　通过上述计算，可以得到以下一些一般性的结论，为方法和基组的选择提供参考。
  　　(1) 所有的从头计算都是以三个近似为前提的，因此再好的方法和再大的基组也不
  可能得到完全精确的结果，例如H原子绝热近似的误差就为0.05%；
  　　(2) HF的最大缺点就是它没有考虑相关能，即便使用再大的基组也无法克服这个困
  难；
  　　(3) 密度泛函的优点是考虑了相关能，缺点是矫正电子自相互作用的困难；密度泛
  函计算的相关能是不完全的，这会导致能量偏高，而矫正电子自相互作用会使能量偏低
  ，这两个效应相互抵消，这是某些密度泛函(如B3LYP等)计算精度比较高的原因之一；
  　　(4) B3LYP不适宜计算开壳层体系，因为矫正未成对电子的自相互作用会使体系的能
  量偏低很多；在计算轨道时结果正好相反，由于电子自相互作用无法矫正的原因，轨道
  能量会偏高很多；
  　　(6) 计算组态相关的方法(如MP2、MP4、CCSD、QCISD等)可以得到很好的相关能，大
  幅度提高计算精度，但是轨道能量由SCF能量得出，结果与HF的一致，所以仅需要计算轨道能量时，没有必要用计算组态相关的方法。

[ Last edited by erylingjet on 2009-2-13 at 10:07 ]

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