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hylpy

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唵嘛呢叭咪吽

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[交流] 一道高等数学考研题已有3人参与

设 $a< b$ ，函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}xf(x)dx=\int_{a}^{b}x^2f(x)dx=0.$

证明:在 $(a,b)$ 内至少存在三个不同的点 $x_1,x_2,x_3$ ，使得 $f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=0$ .

(中科院2012高等数学-甲，十一题)

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凡事，一笑而过。。。。。。

1楼 2017-08-16 15:56:25

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ylsxz2012

铜虫 (初入文坛)

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引用回帖:

2楼: Originally posted by wurongjun at 2017-08-17 16:24:48
反证法,不过比较啰嗦!
假设,没有零点,则与\int_a^b f(x)dx=0矛盾,
假设只有一个零点x_1,考虑\int_a^b (x-x_1)f(x)dx=\int_a^{x_1} (x-x_1)f(x)dx+\int_{x_1}^b (x-x_1)f(x)dx
进一步分析可知:\int_a^{x_1} (x-x ...

不啰嗦，赞!

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5楼2017-08-18 01:04:58

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wurongjun

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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+3 2017-08-18 04:05:09

反证法,不过比较啰嗦!
假设,没有零点,则与 $\int_a^b f(x)dx=0$ 矛盾,
假设只有一个零点 $x_1$ ,考虑 $\int_a^b (x-x_1)f(x)dx=\int_a^{x_1} (x-x_1)f(x)dx+\int_{x_1}^b (x-x_1)f(x)dx$
进一步分析可知: $\int_a^{x_1} (x-x_1)f(x)dx$ 与 $\int_{x_1}^b (x-x_1)f(x)dx$ 同号,这与 $\int_a^b (x-x_1)f(x)dx=0$ 矛盾.