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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 一道复旦高数题
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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

[求助] 一道复旦高数题已有2人参与

设函数和在上存在二阶导数，且，证明：

（1）在开区间内，；

（2）在开区间内至少存在一点，使得：。
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凡事，一笑而过。。。。。。
1楼2017-07-26 10:48:00
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
hylpy: 金币+10, ★★★★★最佳答案, 很棒的解答，谢谢 2017-07-26 14:30:19
假设改为g"(x)≠0
第一问修改4楼证明即可!
第二问:
      构造辅助函数F(x)=f(x)g'(x)-f'(x)g(x)
则F(a)=F(b)=0,由中值定理可知
存在c使得F'(c)=0
整理即得
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
8楼2017-07-26 12:08:26
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xylslyx

银虫 (小有名气)
又是复旦？好吓人啊
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2楼2017-07-26 10:55:58
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wurongjun

专家顾问 (职业作家)
题目是否写错啦?!
g'(x)~=0
与中值定理矛盾啊!
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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.
3楼2017-07-26 11:18:33
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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
（1）用反证法。假设在开区间内，有一点x0, 使得g(x0)=0, 由于g(x)在[a，b]中有二阶导数，因此g(x)是连续的且根据罗尔定理必然存在两个点：x1∈（a,x0]和x2∈[x0，b）,使得g'(x1)=g'(x2)=0,这样就与题设条件g'(x)≠0矛盾了。因此结论得证。

（2）对f'(x)和g'(x)运用柯西定理即得结论。
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4楼2017-07-26 11:19:27
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