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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

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[求助] 一道复旦高数题已有2人参与

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在二阶导数，且 ${g}'(x)\neq 0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$ ，证明：

（1）在开区间 $(a,b)$ 内， $g(x)\neq 0$ ；

（2）在开区间 $(a,b)$ 内至少存在一点 $ξ$ ，使得： $\frac{f(\xi )}{g(\xi )}=\frac{{f}''(\xi )}{{g}''(\xi )}$ 。

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凡事，一笑而过。。。。。。

1楼 2017-07-26 10:48:00

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

（1）用反证法。假设在开区间内，有一点x0, 使得g(x0)=0, 由于g(x)在[a，b]中有二阶导数，因此g(x)是连续的且根据罗尔定理必然存在两个点：x1∈（a,x0]和x2∈[x0，b）,使得g'(x1)=g'(x2)=0,这样就与题设条件g'(x)≠0矛盾了。因此结论得证。

（2）对f'(x)和g'(x)运用柯西定理即得结论。