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祉默

新虫 (初入文坛)

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1楼2017-06-26 20:49:03

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祉默

新虫 (初入文坛)

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送红花一朵

引用回帖:

6楼: Originally posted by alober at 2017-06-26 22:15:36
I(n) = \int_{0}^{+\infty}\frac{\ln^nx}{1+x^2}dx \mathop{=}^{x \to e^{-x}} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{(-x)^n}{1+e^{-2x}}e^{-x}dx = \begin{cases}0 & 2 \nmid n\\(-1)^n \cdot 2\int_{0}^{+\infty}\f ...

谢谢大神！虽然我的手机不显示过程，但是我朋友的可以看到，真心感谢！

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7楼2017-06-27 19:28:42

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alober

木虫 (著名写手)

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★
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$I(n) = \int_{0}^{+\infty}\frac{\ln^nx}{1+x^2}dx \mathop{=}^{x \to e^{-x}} \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{(-x)^n}{1+e^{-2x}}e^{-x}dx = \begin{cases}0 & 2 \nmid n\\(-1)^n \cdot 2\int_{0}^{+\infty}\frac{x^ndx}{e^x+e^{-x}} & 2 \mid n\end{cases} = 2\int_{0}^{+\infty}x^ndx(\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^ke^{-(2k+1)x}) = 2\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k(\int_{0}^{+\infty}x^ne^{-(2k+1)x}dx) = 2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\Gamma(n+1)}{(2k+1)^{n+1}} = 2\Gamma(n+1)\beta(n+1)$
$I(1) = 0, I(2) = 2\Gamma(3)\beta(3) = 2 \cdot 2 \cdot \frac{\pi^3}{32} = \frac{\pi^3}{8}$

（本帖中图片由codecogs生成，如果在手机上看不到，可以试试用电脑看。如果用电脑仍然看不到图，可以试试把对应的 ip 放到 hosts 文件里。192.155.228.10 latex.codecogs.com）

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