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苏竞存_流形的拓扑学
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本书作者以微分流形为中心写了这本书，涉及拓扑学的广泛的领域并在分析数学、几何学乃至理论物理学中均可得到重要的应用。本书的主要内容是：微分流形、示性类理论、表示论大意、Hodge理论、Hirzebruch指标定理、Riemann-Roch定理、Atiyah-Singer指标定理和Gauss-Bonnet定理等。拓扑学的方法与结果在各个数学分支中有着广泛的应用，因此适当选择其中的内容供各个分支的研究者与教师之用是一个很重要的工作。 第1章 基本定义 1.1 定义和例 1.2 光滑函数与光滑映射 1.3 字流形和隐函数定理 1.4 技术性的问题 参考文献 第2章 切丛 2.1 流形的切丛 2.2 内在的描述 2.3 切空间的几何意义 2.4 球面的切丛 参考文献 第3章 矢量丛 3.1 定义和例 3.2 矢量丛上的运算 3.3 丛的正合序列、分裂和一的分裂 3.4 法丛 3.5 仿紧性与一的分割 第4章 流形上的微分学 4.1 方向导数和矢量场 4.2 矢量场的几何，积分曲线 4.3 括弧运算和Frobenius定理 4.4 矢量场的拓扑学 4.5 附录 参考文献 第5章 Lie群 5.1 Lie群的Lie代数 5.2 局部同构，Sophus Lie的基本定理 5.3 指数映射，较深的结果 5.4 Lie群上的Taylor级数展开市，更多的应用 5.5 解析结构和存在性定理 5.6 单连通Lie群 参考文献 第6章 微分形式 6.1 引言 6.2 函数的微分与一次微分形式 6.3 外代数的概述 6.4 高次微分形式 6.5 其它问题 参考文献 第7章 积分 7.1 引言 7.2 单形 7.3 矢量空间中的积分 7.4 流形上的积分 7.5 应用 参考文献 第8章 de Rham 定理 8.1 例和概述 8.2 奇异同调和de Rham定理 8.3 单纯形同调 8.4 de Rham定理的证明 8.5 复流形和Dolbeault上同调，一个简短的插曲 参考文献 第9章 同调理论 9.1 一般的代数知识 9.2 正合性 9.3 同伦，单纯逼近 9.4 切除和Mayer-Vietoris序列 9.5 应用 9.6 CW复形和进一步的计算 参考文献 第10章 上同调 10.1 引言 10.2 Pontrjagin对偶性 10.3 乘积空间和Kunneth公式 10.4 “上”积（Cup Product）与“卡”积（Cup Product） 10.5 Thom同构定理 10.6 Hopf不变量 第11章 Poincare对偶性 11.1 引言 11.2 基本类 11.3 Poincare对偶定理 11.4 Thom-Pontrjagin构造 11.5 相交理论 第12章 纤维丛通论 12.1 引言 12.2 具有构造群的纤维丛 12.3 主丛 12.4 构造群的改变 12.5 万有丛和分类空间 12.6 覆盖同伦性质 12.7 杂记 参考文献 第13章 示性类 13.1 圆群G=S和对合G=Z的示性类 13.2 酉群U（n）的示性类（陈类）与正交群O(n)的示性类（Stiefel-Whitney类） 13.3 计算 13.4 其它的讲法 13.5 Pontrjagin 类 13.6 K-群和陈特征标 参考文献 第14章 表示论通论 14.1 引言 14.2 一般概念 14.3 紧群和不变积分 14.4 特权标与权 14.5 极大环面与E.Cartan定理 14.6 实表示 14.7 根与Weyl定理 14.8 E.Cartan定理 14.9 其它评述 参考文献 第15章 示性类绪论 15.1 Borel-Hirzebruch格式 15.2 齐性空间上的计算 15.3 H*（BO（n）;Q）和H*(BSO(n);Q)的计算 15.4 Pontrjagin数和配边不变性 参考文献 第16章 Hirzebruch指标定理 16.1 流形的指标 16.2 配边环的构造 16.3 乘法序列 16.4 Milnor的怪球 参考文献 第17章 Laplace 方程和Hodge理论 17.1 偏微分方程（PDE）概况 17.2 调和函数 17.3 Laplace-Beltrami算子 17.4 Hirzebruch指标定理的另一表述 17.5 Hodge 定理的证明，总的思路 17.6 Hodge 定理的证明，一个特例 17.7 Hodge定理的证明，一般情况 17.8 澄清，微分几何概述 17.9 复情况 第18章 Riemann-Roch定理 18.1 亚纯函数 18.2 Cech构造和层 18.3 层的上同调 18.4 Riemann-Roch定理 18.5 Riemann-Roch定理的Hirzebruch推广 18.6 其它的评述 参考文献 第19章 Atiyah-Singer指标定理 19.1 矢量丛上的一般微分算子 19.2 椭圆算子的解析指标，Hodge理论 19.3 K理论概述 19.4 Todd亏数和拓扑指标 19.5 Atiyah-Singer指标定理 参考文献 第20章 曲率和相关问题 20.1 曲率 20.2 曲面的Gauss-Bonnet定理 20.3 曲率和示性类 20.4 主从上的联络 20.5 Yang-Mills泛函 参考文献 |
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