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hylpy

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[求助] 积分不等式

1、设 $f(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上满足 $f(0)=f(1)=0$ 的连续可微函数，求证不等式:
$\left ( \int_{0}^{1}f(x)dx \right )^2\leq \frac{1}{12}\int_{0}^{1}\left | {f}'(x) \right |^2dx.$
并且等号当且仅当 $f(x)\equiv Ax(x-1)$ 。这里 $A$ 是常数。

2、设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且满足
$\left | f(x) \right |\leq e^{kx}+k\int_{0}^{x}\left | f(t) \right |dt.$
其中 $k$ 是常数。求证: $\left | f(x) \right |\leq (kx+1)e^{kx}.$

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凡事，一笑而过。。。。。。

1楼 2017-05-03 10:12:54

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凡事，一笑而过。。。。。。

2楼2017-05-03 10:22:54

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★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
hylpy(Edstrayer代发): 金币+10 2017-05-03 12:13:58

$\int_{0}^{1}(1-x)f'(x)dx = [(1-x)f(x)]_{0}^{1}+\int_{0}^{1}f(x)dx = \int_{0}^{1}f(x)dx, \int_{0}^{1}xf'(x)dx = [xf(x)]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}f(x)dx = -\int_{0}^{1}f(x)dx \Rightarrow \int_{0}^{1}f(x)dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1-2x)f'(x)dx \Rightarrow (\int_{0}^{1}f(x)dx)^2 = \frac{1}{4}(\int_{0}^{1}(1-2x)f'(x)dx)^2 \mathop{\le}^{Cauchy} \frac{1}{4}\int_{0}^{1}(1-2x)^2dx \cdot \int_{0}^{1}(f'(x))dx$
第二个只算了k > 0的情况。
$|f(x)| \le e^{kx}+k\int_{0}^{x}(e^{kt}+k\int_{0}^{t}|f(t)|dt)dt \le e^{kx}+k\int_{0}^{x}e^{kt}dt = 2e^{kx}-1 \mathop{\le}^{Taylor} (kx+1)e^{kx}$

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hylpy

3楼2017-05-03 11:32:56

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送红花一朵

引用回帖:

3楼: Originally posted by alober at 2017-05-03 11:32:56
\int_{0}^{1}(1-x)f'(x)dx = _{0}^{1}+\int_{0}^{1}f(x)dx = \int_{0}^{1}f(x)dx, \int_{0}^{1}xf'(x)dx = _{0}^{1}-\int_{0}^{1}f(x)dx = -\int_{0}^{1}f(x)dx \Rightarrow \int_{0}^{1}f(x)dx = \frac{1}{2}\int_ ...

很给力!
怎么没点应助啊，想送你分还送不了呢

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凡事，一笑而过。。。。。。

4楼2017-05-03 11:40:51

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