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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 求解一道抽象代数群论的题
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郭襄她外公

新虫 (初入文坛)

[求助] 求解一道抽象代数群论的题已有1人参与

G 是一个交换群，n 是一个正整数 G_n= {g∈G:g^n=e} and G^n= {g^n:g∈ G}。 证明G/G_n 和 G^n同态。
谢谢各位大神帮忙呐~
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1楼2017-05-03 09:39:22
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苦涩的胜利

新虫 (初入文坛)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
<a>为G/G_n的元素，构造f：G/G_n -> G^n 为 f(<a>=a^n

先证f是映射，<a>=<a1>时,aa1^-1∈G_n,即存在g∈G_n，有aa1^-1=g,即a=ga1，a^n=(ga1)^n=(g^n)(a1^n)=a1^n (因为是交换群)，从而f是映射

再证f(<a><b>=f(<a>f(<b> :f(<a><b>=f(<ab>=(ab)^n=(a^n)(b^n)=f(<a>f(<b>
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2楼2017-05-03 15:58:19
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苦涩的胜利

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by 苦涩的胜利 at 2017-05-03 15:58:19
<a>为G/G_n的元素，构造f：G/G_n -> G^n 为 f(<a>=a^n

先证f是映射，<a>=<a1>时,aa1^-1∈G_n,即存在g∈G_n，有aa1^-1=g,即a=ga1，a^n=(ga1)^n=(g^n)(a1^n)=a1^n (因为是交换群)，从 ...

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3楼2017-05-03 16:00:06
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yfg0525

新虫 (初入文坛)
楼上的证明没问题，我简单理下思路。设f:x到x^n；首先证f是G到G^n的同态映射，而且是满同态；其次证f的核为G_n;最后由同态基本定理都出结果，而且是同构

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4楼2017-05-06 12:24:31
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