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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

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[交流] 科大的一道积分试题已有1人参与

求 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^2x}{1+e^x}dx$

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hylpy

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凡事，一笑而过。。。。。。

1楼 2017-05-02 14:22:17

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alober

木虫 (著名写手)

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★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+5 2017-05-03 07:27:44

$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{e^{-x}\cos^2x}{1+e^{-x}}dx \mathop{=}^{-x \to x} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{e^x\cos^2x}{1+e^x}dx = \frac{1}{2}(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^2x}{1+e^x}dx+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{e^x\cos^2x}{1+e^x}dx) = \frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2xdx = \frac{\pi}{4}$

试试新地址。
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{e^{-x}\cos^2x}{1+e^{-x}}dx \mathop{=}^{-x \to x} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{e^x\cos^2x}{1+e^x}dx = \frac{1}{2}(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^2x}{1+e^x}dx+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{e^x\cos^2x}{1+e^x}dx) = \frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2xdx = \frac{\pi}{4}$