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hzh9421

银虫 (小有名气)

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1楼 2017-04-27 22:28:06

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alober

木虫 (著名写手)

数学EPI: 1
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注册: 2014-07-20

★ ★ ★ ★ ★
Edstrayer: 金币+5 2017-04-30 07:09:11

$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{i=1}^{n+1}i^k-\sum_{i=1}^{n}i^k}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^k}{(n+1)^{k+1}-n^{k+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^k}{n^{k+1}+(k+1)n^k+\cdots+1-n^{k+1}}\mathop{=}^{\lim_{n\to\infty}\frac{n^{<k}}{(n+1)^k}=0}\frac{1}{k+1}\mathop{=}^{Stolz}L$

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2楼2017-04-27 23:24:51

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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【答案】应助回帖

★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
hzh9421(Edstrayer代发): 金币+3 2017-04-28 15:34:15

可以利用定积分的定义，讲求和式子转换成在0和1之间的定积分进行计算。过程如下：
Lim{Sum{[1^k+2^k+...+n^k+...]/n^(k+1)} , n--->∞}
=Lim{Sum{[(1/n)^k+(2/n)^k+...+(n/n)^k]*1/n} , n--->∞}
=Integral{x^k*dx ,0,1}
=1/(k+1)

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3楼2017-04-27 23:30:08

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