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数学诡异

新虫 (小有名气)

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[交流] 集合论中一一对应的逻辑错误已有7人参与

集合论被誉为是现代数学的基础，而一一对应则是集合论中的基础工具。但，如果一一对应这个基础工具是有逻辑错误的，那么就意味着，以集合论为基础的的数学大厦便会彻底倒蹋。
一一对应在集合论中的作用就是比较两个集合的基数是不是相等的，对于有限集来说，很容易的就会比较出两个集合的基数究竟哪个大哪个小，所以对于有限集来说，一一对应这个工具是起不到什么实质性的作用的，所以一一对应主要还是用于比较两个无限集的基数大小。
但用一一对应来比较两个无限集的大小时，便会出现很多违反人的直觉的结论，比如说：全体正整数与全体偶数相比较，哪个多？从直观上来看，全体正整数不仅包含了全体偶数，而且还包含了全体奇数，那当然是全体正整数比全体偶数多了，但用一一对应这个工具做比较之后便会惊奇的发现：二者的基数居然是相等的。
那么一一对应这个数学工具到底有没有逻辑错误呢？
有，而且这个逻辑错误非常的隐蔽，下面我就将这个逻辑错误彻底的暴露出来：
我们还是以上面所提到的全体正整数与全体偶数的一一对应来说明问题，它的一一对应方法是这样的：1对应2，2对应4，3对应6，4对应8，5对应10……n对应2n……，这个对应法则就是：f(n)=2n，这样看来，任何一个自然数n都有一个偶数2n相对应，所以，每一个自然数都有一个偶数相对应。
但问题是：自然数是无穷多的，如果你这么一个接一个的对应验证下去，就算是对到天长地久，地老天荒也永永远远的对应不完，你根本就无法验证后面究竟是不是有自然数没有对应到偶数。
所以现在我将这个问题做一下变换，让这无穷多次的操做步骤在一分钟的时间里全部完成：当时间为1/2分钟时，令1对应2；当时间为3/4分钟时，令2对应4；当时间为7/8分钟时，令3对应6；当时间为15/16分钟时，令4对应8……依此类推，可知，当时间为1分钟时，会进行无穷多次操做，全体正整数与全体自然数的对应工作全部完成。
由此便会发现：当时间没有到达1分钟的任意一个时刻里，对应到的都是有限的正整数部分，也就是全体正整数的对应工作没有全部完成，后面还有许许多多的正整数没有对应到，只有当时间到达1分钟时，所有的正整数与偶数的对应工作才会全部完成。
但问题是：当时间为1分钟时，操做的是哪一个自然数与偶数的对应？
我们会发现：当时间为1分钟时，没有正整数与偶数相对应，因为假设这个正整数存在，那么它就是最大的一个正整数，但我们知道，不存在最大的正整数，如果存在最大的正整数G，那么它对应的偶数2G岂不是比G更大？
所以矛盾就在这里：1分钟之前，全体正整数与全体偶数的对应工作没有完成，而当时间到达1分钟时，在这1分钟的时间点上，找不到哪一个正整数与偶数相对应。
所以这便是集合论中一一对应的致命矛盾。

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