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Love_Family

新虫 (初入文坛)

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[求助] 求助一个积分的问题，麻烦各位虫友不吝赐教，不胜感激！已有1人参与

积分如果把１＋２ｓ换成ｓ的话，通过合适的变化，就可以用Ｂｅｔａ函数表示出来了，但是现在这个形式谁会求，请帮帮忙？
结果用Ｇａｍｍａ函数或者是Ｂｅｔａ函数表示都可以。

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No Complain,Only work hard!

1楼 2017-02-05 02:08:54

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wurongjun

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

可以用超几何函数表示！
>> syms t s a
>> int((1+2*s)^a/(t-s)^a,s,0,t)

ans =

t^(-a+1)/(-a+1)*hypergeom([1, -a],[2-a],-2*t)

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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.

2楼2017-02-05 11:37:56

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alober

木虫 (著名写手)

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$I \mathop{=}^{s \to st} t^{1-\alpha}\int_{0}^{1}(1+2st)^{\alpha}(1-s)^{-\alpha}ds \mathop{=}^{1-s \to s, 2t=z} t^{1-\alpha}\int_{0}^{1}(\frac{1+z}{s}-z)^{\alpha}ds \mathop{=}^{p = \frac{z}{1+z}s} t^{1-\alpha}(1+z)z^{\alpha-1}\int_{0}^{\frac{z}{1+z}}(\frac{1-p}{p})^{\alpha}dp = t^{1-\alpha}(1+z)z^{\alpha-1}\int_{0}^{\frac{z}{1+z}}p^{(1-\alpha)-1}(1-p)^{(\alpha+1)-1}dp = t^{1-\alpha}(1+z)z^{\alpha-1}B_{\frac{z}{1+z}}(1-\alpha,1+\alpha) = (1+2t)2^{\alpha-1}B_{\frac{2t}{1+2t}}(1-\alpha,1+\alpha)$

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3楼2017-02-05 11:44:37

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