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我要飞

铁虫 (正式写手)

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[求助] 积分已有2人参与

如何计算此积分？
$\int_{0}^{\pi}(sin \frac{z}{2})^\alpha sin(kz)dz$
其中： $1<\alpha<2.$

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1楼2017-01-10 10:41:53

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alober

木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★
Edstrayer: 金币+3 2017-02-03 03:23:35

令z=2x则 $I=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x)^{\alpha}\sin(2kx)dx$ ，因为
$-i\int_{0}^{\pi}(2\cos\frac{t}{2})^pe^{it(q+\frac{p}{2}+1)}dt = \int_{0}^{1}(1+x)^px^qdx+e^{iq\pi}\int_{0}^{1}(1-x)^px^qdx$
两边取实部并令t = 2x得
$2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2\cos x)^p\sin(2x(q+\frac{p}{2}+1))dx = \int_{0}^{1}(1+x)^px^qdx+\cos(q\pi)\int_{0}^{1}(1-x)^px^qdx = (-1)^{q+1}\int_{0}^{-1}(1-x)^px^qdx+\cos(q\pi)B(p+1,q+1) = (-1)^{q+1}B_{-1}(p+1,q+1)+\cos(q\pi)B(p+1,q+1)$
令 $k = q+\frac{p}{2}+1$ ，上式即
$2^{p+1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos x)^p\sin(2kx)dx = (-1)^{k-\frac{p}{2}}B_{-1}(p+1,k-\frac{p}{2})+\cos((k-\frac{p}{2}-1)\pi)B(p+1,k-\frac{p}{2})$
让 $x \to \frac{\pi}{2}-x$ ，上式即
$(-1)^k2^{p+1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x)^p\sin(2kx)dx = (-1)^{k-\frac{p}{2}}B_{-1}(p+1,k-\frac{p}{2})+(-1)^{k+1}\cos(\frac{p\pi}{2})B(p+1,k-\frac{p}{2})$
即
$2^{p+1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x)^p\sin(2kx)dx = (-1)^{-\frac{p}{2}}B_{-1}(p+1,k-\frac{p}{2})-\cos(\frac{p\pi}{2})B(p+1,k-\frac{p}{2})$
让 $p=\alpha$ ，即
$2^{\alpha}I = (-1)^{-\frac{\alpha}{2}}B_{-1}(\alpha+1,k-\frac{\alpha}{2})-\cos(\frac{\alpha\pi}{2})B(\alpha+1,k-\frac{\alpha}{2})$
两边用I的系数除就行了。
第一个“因为”后的部分，见你另一主题中我的回复。

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3楼2017-02-02 16:21:41

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