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alober

木虫 (著名写手)

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好像是数字信号里定义的一种函数，不知道楼主的是哪一种， $\operatorname{sinc} x=\frac{\sin x}{x}, \operatorname{sinc} x=\frac{\sin \pi x}{\pi x}$
那个积分要收敛可能还是要一定条件才行。另外如果把这函数用Euler公式换成指数形式，能把积分函数变得简单点，在一定条件下可以试试Fourier变换这些。

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11楼2017-01-05 10:03:12

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colored

铜虫 (初入文坛)

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引用回帖:

10楼: Originally posted by vect at 2017-01-05 09:49:15
sinc函数是什么函数，印象中有正弦sin 双曲正弦sinh

sinc（x）=sin(x) / x

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12楼2017-01-05 10:40:54

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alober

木虫 (著名写手)

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作代换 $ax \to x$ ，则积分变成
$I = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{bx}(\frac{\sin ax}{ax})^4dx = \frac{1}{a}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{tx}\frac{\sin^4x}{x^4}dx$
其中 $t = \frac{b}{a}$ 。因为
$\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
所以
$16aI = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{tx}(\frac{6}{x^4}-\frac{4e^{-2ix}}{x^4}-\frac{4e^{2ix}}{x^4}+\frac{e^{-4ix}}{x^4}+\frac{e^{4ix}}{x^4})dx$

先做点Fourier变换的准备：
因为 $\mathcal{F}[\operatorname{sign}(x)] = \frac{2}{is}$ ，所以 $\mathcal{F}[\frac{2}{is}] = \mathcal{F}[\mathcal{F}[\operatorname{sign}(x)]] = 2\pi\operatorname{sign}(-x)$ ，于是
$\mathcal{F}[\frac{1}{x}] = i\pi\operatorname{sign}(-s)$

注意
$\mathcal{F}[f^{(n)}(x)] = (is)^n\mathcal{F}[f(x)]$

让 $f^{(3)}(x) = \frac{1}{x^4}$ ，则 $f(x) = -\frac{1}{6x}$ ，使用上面的公式就有
$\mathcal{F}[\frac{1}{x^4}] = (is)^3\mathcal{F}[-\frac{1}{6x}] = (is)^3 \cdot \frac{1}{6}i\pi\operatorname{sign}(s) = \frac{\pi}{6}s^3\operatorname{sign}(s)$

得到这个以后，再做一些假设，假设t是纯虚数，设 $t = \lambda i$ ，则
$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{tx}\frac{e^{4ix}}{x^4}dx = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{i(\lambda+4)x}}{x^4}dx = \mathcal{F}[\frac{1}{x^4}] = \frac{\pi}{6}(-(\lambda+4))^3\operatorname{sign}(-(\lambda+4))$

其它几个也能类似算出来了。
注意其中做了假设，要求t是纯虚数。不知道是不是楼主需要的结果。

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13楼2017-01-05 17:21:39

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