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hylpy

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[求助] 一道有趣的积分证明题已有1人参与

设 $\lambda$ 为任意实数,证明:
$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+(\tan x)^{\lambda }}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+(\cot x)^{\lambda }}dx=\frac{\pi }{4}.$

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凡事，一笑而过。。。。。。

1楼 2016-12-17 12:19:10

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i维数

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
hylpy: 金币+20, ★★★★★最佳答案 2016-12-17 21:05:55

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{1+(\tan x)^\lambda }dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{(\cos x)^\lambda }{(\sin x)^\lambda+(\cos x)^\lambda }dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{(\cos x)^\lambda }{(\sin x)^\lambda+(\cos x)^\lambda }dx+\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{(\cos x)^\lambda }{(\sin x)^\lambda+(\cos x)^\lambda }dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{(\cos x)^\lambda }{(\sin x)^\lambda+(\cos x)^\lambda }dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{(\sin x)^\lambda }{(\sin x)^\lambda+(\cos x)^\lambda }dx=\frac{\pi }{4}.$ 另一个同理可证。

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2楼2016-12-17 20:56:16

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hylpy

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用变量代换可证明这两个积分相等.
也可以将此两个积分相加除以2的方法求I积分值.

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凡事，一笑而过。。。。。。

3楼2016-12-17 23:00:45

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炽chii

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4楼2016-12-18 02:09:14

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