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ck2468

铁杆木虫 (著名写手)

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万般皆是命半点不由人未看山头土先观屋下人养病如养虎虎大就伤人便宜无好货贪贱吃穷人不信直不直须防仁不仁

1楼 2016-11-30 19:29:17

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匿名

用户注销 (正式写手)

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2楼2016-11-30 20:37:29

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alober

木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
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ck2468: 金币+5, ★★★★★最佳答案, 谢谢，没想到 2016-11-30 21:07:05

$A=(1+xn)^{1/n},\lim_{n \to 0}A=e^x,\ln A=\frac{\ln(1+xn)}{n},\frac{A'}{A}=\frac{-\ln(1+nx)+\frac{nx}{1+nx}}{n^2}$
$L=\lim_{n \to \infty}\frac{(1+x/n)^{\frac{1}{1/n}}-e^x}{1/n}=\lim_{n \to 0}\frac{(1+xn)^{1/n}-e^x}{n}=\lim_{n \to 0}((1+xn)^{1/n})'=\lim_{n \to 0}A'=\lim_{n \to 0}A \cdot \lim_{n \to 0}\frac{-\ln(1+nx)+\frac{nx}{1+nx}}{n^2}=e^x \cdot \lim_{n \to 0}\frac{-(1+nx)\ln(1+nx)+nx}{n^2(1+n)}=e^x\lim_{n \to 0}\frac{-(1+nx)\ln(1+nx)+nx}{n^2} \cdot \lim_{n \to 0}\frac{1}{1+n}=e^x\lim_{n \to 0}\frac{-x-x\ln(1+nx)+x}{2n}=-xe^x\lim_{n \to 0}\frac{(\ln(1+nx))'}{2}=-\frac{xe^x}{2}\lim_{n \to 0}\frac{x}{1+nx}=-\frac{x^2e^x}{2}$

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