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冯小岩

新虫 (初入文坛)

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[交流] 数学物理方法

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1楼 2016-11-27 20:20:04

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alober

木虫 (著名写手)

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★
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我不怎么懂，是不是像下面这样的积分？勉强试了一下，可能不对，楼主再自己看看吧。
$2^nn!\int_{-1}^{1}x^nP_n(x)dx=\int_{-1}^{1}x^n \cdot \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^ndx=[x^n \cdot \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^2-1)^n]_{-1}^{1}-n\int_{-1}^{1}x^{n-1} \cdot \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^2-1)^ndx=(-1)^1n\int_{-1}^{1}x^{n-1} \cdot \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^2-1)^ndx=\cdots=(-1)^nn!\int_{-1}^{1}x^0\frac{d^0}{dx^0}(x^2-1)^ndx=(-1)^nn!\int_{-1}^{1}(-1)^n(1-x^2)^ndx=(-1)^{2n}n!\int_{-1}^{1}(1-x^2)^ndx=n! \cdot 2\int_{0}^{1}(1-x^2)^ndx=n!\int_{0}^{1}(x^2)^{-\frac{1}{2}}(1-x^2)^nd(x^2)=n!B(\frac{1}{2},n+1)=n!\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+\frac{3}{2})}=n!\frac{\sqrt{\pi}n!}{\frac{(2n+1)!!\sqrt{\pi}}{2^{n+1}}}=\frac{2^{n+1}(n!)^2}{(2n+1)!!}$
$\frac{2n+1}{2}\int_{-1}^{1}x^nP_n(x)dx=\frac{n!}{(2n-1)!!}$

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2楼2016-11-30 21:50:51

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