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i维数

木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
panda: 金币+8, ★有帮助 2016-11-04 18:07:03

引用回帖:

9楼: Originally posted by panda at 2016-11-04 17:38:18
，可能是我写的不清楚，题目里是2^(2n)，不是2^(2^n)
...

那么这个应该是算不出来的，你可以上网查找有关q级数的相关资料看看。

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11楼2016-11-04 18:03:14

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panda

木虫 (著名写手)

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统一回复:题目里是2^(2n)而不是2^(2^n)。

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12楼2016-11-04 18:05:06

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panda

木虫 (著名写手)

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专业: 有机高分子材料

引用回帖:

11楼: Originally posted by i维数 at 2016-11-04 18:03:14
那么这个应该是算不出来的，你可以上网查找有关q级数的相关资料看看。...

好的，谢谢。

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13楼2016-11-04 18:07:19

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

alober

木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
panda: 金币+22, ★★★很有帮助 2016-11-05 10:34:08

显然 $x_n=(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^6})(1+\frac{1}{2^8})\cdots(1+\frac{1}{2^{2n}})$ 单调增加，而 $1+x<e^x$ ，因此 $x_n<(1+\frac{1}{2^1})(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^3})\cdots(1+\frac{1}{2^n})<e^{\frac{1}{2^1}}\cdot e^{\frac{1}{2^2}}\cdots e^{\frac{1}{2^n}}=e^{\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n}}<e$ ，因此 $x_n$ 单调有界，故必定收敛。

取 $x_n$ 的子列 $y_n=(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})\cdots(1+\frac{1}{2^{2^n}})$ ，使用收敛数列的任意子列与原数列收敛到同一极限，即知 $\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n=\frac{4}{3}\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})\cdots(1+\frac{1}{2^{2^n}})=\frac{4}{3}$