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i维数

木虫 (正式写手)

数学EPI: 4
应助: 74 (初中生)
金币: 2788.6
红花: 10
帖子: 691
在线: 942.1小时
虫号: 3691318
注册: 2015-02-17
性别: GG
专业: 偏微分方程

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
panda: 金币+8, ★有帮助 2016-11-04 18:07:03

引用回帖:

9楼: Originally posted by panda at 2016-11-04 17:38:18
，可能是我写的不清楚，题目里是2^(2n)，不是2^(2^n)
...

那么这个应该是算不出来的，你可以上网查找有关q级数的相关资料看看。

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11楼2016-11-04 18:03:14

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panda

木虫 (著名写手)

应助: 2 (幼儿园)
金币: 4278.2
散金: 183
红花: 6
沙发: 1
帖子: 1323
在线: 21.6小时
虫号: 4359553
注册: 2016-01-15
性别: GG
专业: 有机高分子材料

统一回复:题目里是2^(2n)而不是2^(2^n)。

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12楼2016-11-04 18:05:06

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panda

木虫 (著名写手)

应助: 2 (幼儿园)
金币: 4278.2
散金: 183
红花: 6
沙发: 1
帖子: 1323
在线: 21.6小时
虫号: 4359553
注册: 2016-01-15
性别: GG
专业: 有机高分子材料

引用回帖:

11楼: Originally posted by i维数 at 2016-11-04 18:03:14
那么这个应该是算不出来的，你可以上网查找有关q级数的相关资料看看。...

好的，谢谢。

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13楼2016-11-04 18:07:19

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alober

木虫 (著名写手)

数学EPI: 1
应助: 18 (小学生)
金币: 22815.2
红花: 25
帖子: 2681
在线: 473.6小时
虫号: 3331731
注册: 2014-07-20

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
panda: 金币+22, ★★★很有帮助 2016-11-05 10:34:08

显然 $x_n=(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^6})(1+\frac{1}{2^8})\cdots(1+\frac{1}{2^{2n}})$ 单调增加，而 $1+x<e^x$ ，因此 $x_n<(1+\frac{1}{2^1})(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^3})\cdots(1+\frac{1}{2^n})<e^{\frac{1}{2^1}}\cdot e^{\frac{1}{2^2}}\cdots e^{\frac{1}{2^n}}=e^{\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n}}<e$ ，因此 $x_n$ 单调有界，故必定收敛。

取 $x_n$ 的子列 $y_n=(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})\cdots(1+\frac{1}{2^{2^n}})$ ，使用收敛数列的任意子列与原数列收敛到同一极限，即知 $\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n=\frac{4}{3}\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})\cdots(1+\frac{1}{2^{2^n}})=\frac{4}{3}$

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14楼2016-11-04 18:57:13

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snowwhite1

木虫 (小有名气)

应助: 5 (幼儿园)
金币: 4484.2
帖子: 275
在线: 104.1小时
虫号: 1182357
注册: 2011-01-03
性别: GG
专业: 数论

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

1/2。利用平方差公式。

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奋斗

15楼2016-11-04 19:39:02

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nasacia2016

至尊木虫 (职业作家)

应助: 0 (幼儿园)
金币: 17172.7
帖子: 3622
在线: 41.4小时
虫号: 5141373
注册: 2016-10-20
专业: 水工结构和材料及施工

数学软件计算结果为1+1/3

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16楼2016-11-05 13:05:00

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panda

木虫 (著名写手)

应助: 2 (幼儿园)
金币: 4278.2
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沙发: 1
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在线: 21.6小时
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注册: 2016-01-15
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专业: 有机高分子材料

引用回帖:

16楼: Originally posted by nasacia2016 at 2016-11-05 13:05:00
数学软件计算结果为1+1/3

什么软件，推荐下可否。

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17楼2016-11-05 14:39:08

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alober

木虫 (著名写手)

数学EPI: 1
应助: 18 (小学生)
金币: 22815.2
红花: 25
帖子: 2681
在线: 473.6小时
虫号: 3331731
注册: 2014-07-20

引用回帖:

17楼: Originally posted by panda at 2016-11-05 14:39:08
什么软件，推荐下可否。
...

虽然你说有帮助，但我还是计算错了，那个y_n不是x_n的子序列，因此还是不能这样算。只是前面证明它存在极限那部分是正确的。

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18楼2016-11-05 15:17:38

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暮云飘雪

新虫 (初入文坛)

应助: 1 (幼儿园)
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注册: 2013-01-01
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专业: 有机合成

三分之四

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19楼2016-11-05 15:42:42

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panda

木虫 (著名写手)

应助: 2 (幼儿园)
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专业: 有机高分子材料

引用回帖:

18楼: Originally posted by alober at 2016-11-05 15:17:38
虽然你说有帮助，但我还是计算错了，那个y_n不是x_n的子序列，因此还是不能这样算。只是前面证明它存在极限那部分是正确的。...

应该没错吧，yn应该是xn的子列吧。

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20楼2016-11-05 16:16:52

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