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panda

木虫 (著名写手)

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1楼2016-11-04 14:16:36

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alober

木虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
panda: 金币+22, ★★★很有帮助 2016-11-05 10:34:08

显然 $x_n=(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^6})(1+\frac{1}{2^8})\cdots(1+\frac{1}{2^{2n}})$ 单调增加，而 $1+x<e^x$ ，因此 $x_n<(1+\frac{1}{2^1})(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^3})\cdots(1+\frac{1}{2^n})<e^{\frac{1}{2^1}}\cdot e^{\frac{1}{2^2}}\cdots e^{\frac{1}{2^n}}=e^{\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n}}<e$ ，因此 $x_n$ 单调有界，故必定收敛。

取 $x_n$ 的子列 $y_n=(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})\cdots(1+\frac{1}{2^{2^n}})$ ，使用收敛数列的任意子列与原数列收敛到同一极限，即知 $\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n=\frac{4}{3}\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^2})(1+\frac{1}{2^4})(1+\frac{1}{2^8})\cdots(1+\frac{1}{2^{2^n}})=\frac{4}{3}$