|
|
【答案】应助回帖
感谢参与，应助指数 +1
注意丘老师黑板上V1和V2是表示线性子空间
（2）implies (4)：
首先很显然V1+V2中的元素均可以用S1和S2线性表示出，那么要证明 S1\cup S2是基只需要证明S1\cup S2线性无关。
假设不然，则存在一组不全为零的数lambda_1,lambda_2,...,lambda_n,mu_1,...,mu_m 以及S1中的元素x_1,...x_n, S2中的元素y_1,...y_m使得
lambda_1*x_1+lambda_n*x_n...+mu_1*y_1+...+mu_m*y_m=0，
显然，lambda_1,...,lambda_n这组数不全为0，因为S2是线性无关的。
同理mu_1,...,mu_m也不全为0。那么
lambda_1*x_1+...+lambda_n*x_n+mu_1*y_1-...+mu_m*y_m=0
lambda_1*x_1+...+lambda_n*x_n属于V1，
mu_1*y_1+...+mu_m*y_m属于V2，均非零，与（2）矛盾。
（4）implies (2)：
若（2）不对，则存在不全为0的向量x属于V1，y属于V2使得
0=x+y.
那么将x表示成S1的线性表示，y表示成S2的线性表示，
则得lambda_1*x_1+lambda_n*x_n...+mu_1*y_1+...+mu_m*y_m=0，
与S1\cup S2是基（线性无关）矛盾。 |
|
回复此楼
50