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1楼 2016-10-04 01:24:33

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yogort

铁杆木虫 (正式写手)

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2楼2016-10-04 06:50:55

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cdjy6481

禁虫 (正式写手)

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3楼2016-10-04 10:22:09

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yogort

铁杆木虫 (正式写手)

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3楼: Originally posted by cdjy6481 at 2016-10-04 10:22:09
（2）与（4）能相互推出吗？丘老师（4）能推出（2），但我感觉不一定，例如我举得三个向量
...

v1，v2分别是什么？

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4楼2016-10-04 15:07:37

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001gqs

银虫 (小有名气)

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3楼: Originally posted by cdjy6481 at 2016-10-04 10:22:09
（2）与（4）能相互推出吗？丘老师（4）能推出（2），但我感觉不一定，例如我举得三个向量
...

注意丘老师黑板上V1和V2是表示线性子空间
（2）implies (4)：
首先很显然V1+V2中的元素均可以用S1和S2线性表示出，那么要证明 S1\cup S2是基只需要证明S1\cup S2线性无关。
假设不然，则存在一组不全为零的数lambda_1,lambda_2,...,lambda_n,mu_1,...,mu_m 以及S1中的元素x_1,...x_n, S2中的元素y_1,...y_m使得
lambda_1*x_1+lambda_n*x_n...+mu_1*y_1+...+mu_m*y_m=0，
显然，lambda_1,...,lambda_n这组数不全为0，因为S2是线性无关的。
同理mu_1,...,mu_m也不全为0。那么
lambda_1*x_1+...+lambda_n*x_n+mu_1*y_1-...+mu_m*y_m=0
lambda_1*x_1+...+lambda_n*x_n属于V1，
mu_1*y_1+...+mu_m*y_m属于V2，均非零，与（2）矛盾。
（4）implies (2)：
若（2）不对，则存在不全为0的向量x属于V1，y属于V2使得
0=x+y.
那么将x表示成S1的线性表示，y表示成S2的线性表示，
则得lambda_1*x_1+lambda_n*x_n...+mu_1*y_1+...+mu_m*y_m=0，
与S1\cup S2是基（线性无关）矛盾。

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强悍的老民科