[求助] 求各位大神帮忙解决一个积分的问题已有2人参与

2楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-09-18 03:30:09
题目：试证：无穷积分
\int_0^{+\infty}\frac{x^4e^x}{(e^x-1)^2}dx=\frac{4\pi^4}{15}
证明：
\int_0^{+\infty}\frac{x^4e^x}{(e^x-1)^2}dx=\int_0^{+\infty}x^4e^{-x}\left(\sum\limits_{n=0}^{+\infty}e^{-nx ...

3楼: Originally posted by hank612 at 2016-09-18 03:33:00
楼主需要一些定义来得到以下公式

当z>0时， \int_0^{\infty}\frac{x^z e^x}{(e^x-1)^2}dx=z\Gamma(z)\cdot \zeta(z)

解释： Gamma函数由 \Gamma(z)=\int_0^{\infty} x^{z-1}e^{-x} dx 定义, 一个变量替换 ...

3楼: Originally posted by hank612 at 2016-09-18 03:33:00
楼主需要一些定义来得到以下公式

当z>0时， \int_0^{\infty}\frac{x^z e^x}{(e^x-1)^2}dx=z\Gamma(z)\cdot \zeta(z)

解释： Gamma函数由 \Gamma(z)=\int_0^{\infty} x^{z-1}e^{-x} dx 定义, 一个变量替换 ...